广东韶关市2025-2026学年高一下学期7月期末练习数学试题

试卷更新日期：2026-07-17 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. $\cos 330^{0} =$

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $z i = 2 + i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ，若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $λ =$ （）

A、5 B、4 C、2 D、1

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4. 已知空间中有三条不重合的直线 $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ 和两个不重合的平面 $α, β$ ，则下列结论中正确的是（）

A、若 $l_{1} / / α, l_{2} / / α$ ，则 $l_{1} / / l_{2}$ B、若 $l_{1} ⊥ l_{2}, l_{2} ⊥ l_{3}$ ，则 $l_{1} / / l_{3}$ C、若 $l_{1} \subset α, l_{2} \subset β$ ， $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $α / / β$ D、若 $α \cap β = l$ ， $l_{1} / / α, l_{1} / / β$ ，则 $l_{1} / / l$

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5. 在某次数学测试中，10位同学的得分依次为：80， 84， 80， 95， 88， 89， 86， 88， 97， 88，这组数据的众数和第75百分位数分别为（）

A、80， 88 B、80， 89 C、88， 88.5 D、88， 89

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6. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{1}{4}$ ，则密码被成功破译的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{11}{12}$

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7. 如图，为了测量河对岸的塔 $A B$ 的高度，某测量队选取与塔底 $B$ 在同一水平面内且相距约为 $70$ 米的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ．现测量得 $∠ B C D = 60 °$ ，在点 $C, D$ 处测得塔顶 $A$ 的仰角分别为 $45 °$ ， $30 °$ ，则塔高 $A B$ 约为（）米.

A、 $30$ B、 $35$ C、 $40$ D、 $45$

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8. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， $M$ 为线段 $B C$ 的中点， $N$ 为线段 $A C$ 上的动点，则 $\vec{M N} \cdot \vec{B N}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $\frac{15}{8}$ C、 $\frac{7}{16}$ D、 $\frac{15}{16}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知复数 $z = m^{2} - 1 + (m + 1) i$ ， $m \in R$ ，则（）

A、若 $m = 0$ ，则 $z$ 的虚部为 $1$ B、若复数 $z$ 为纯虚数，则 $m = \pm 1$ C、若 $m = 2$ ，则 $|\bar{z}| = 3 \sqrt{2}$ D、若 $- 1 < m < 1$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点在第四象限

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10. 某中学高一（3）班有45人，其中男生、女生的人数及其团员人数如下表所示.在班级里随机选一人，事件 $A =$ “选到男生”，事件 $B =$ “选到女生”，事件 $C =$ “选到团员”，则（）

团员
非团员
合计
男生
15
10
25
女生
12
8
20
合计
27
18
45

A、 $P (A) = \frac{5}{9}, P (B) = \frac{3}{5}$ B、 $P (A \bar{C}) = \frac{2}{9}$ C、事件 $B$ 与事件 $C$ 互斥 D、事件 $A$ 与事件 $C$ 相互独立

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $△ A B C$ 的外接圆半径为 $2$ ，且 $\sin A \sin B \sin C = \frac{\sqrt{3}}{8}$ ，则（）

A、 $a b c = 8 \sqrt{3}$ B、 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ C、当 $B = \frac{π}{3}$ 时， $A - C = \frac{π}{2}$ D、当 $a$ 最小时， $\sin A \cdot (1 + \cos A) = \frac{\sqrt{3}}{4}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知向量 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 不共线，向量 $\vec{a} = \vec{m} + 4 \vec{n}$ ， $\vec{b} = - 2 \vec{m} + x \vec{n}$ ， $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ .

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13. 从长度为 $2, 4, 6, 8, 10$ 的 $5$ 条线段中任取 $3$ 条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为.

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14. 在棱长为 $4$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为棱 $A B 、 A D$ 的中点， $G$ 为棱 $C_{1} D_{1}$ 上的点，且 $C_{1} G = 1$ ，则过 $E$ ， $F$ ， $G$ 三点的平面交正方体所得截面的周长为.

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四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 从某小区抽取 $n$ 户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在 $50 ~ 350 kW \cdot h$ 之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），其频率分布直方图如图所示，其中月用电量超过 $300 kW \cdot h$ 的居民有 $6$ 户.

(1)、求 $x$ 和 $n$ 的值；

(2)、采用样本量比例分配的分层随机抽样从 $[50, 100)$ 和 $[100, 150)$ 两组中随机抽取了 $5$ 户居民，现从已抽取的 $5$ 户居民中随机抽取 $2$ 户，求这 $2$ 户居民月用电量不在同一组的概率.

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16. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $C C_{1} = 4$ ， $E$ 为线段 $C C_{1}$ 中点.

(1)、求证： $A C_{1} / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求证： $A_{1} E ⊥$ 平面 $B D E$ .

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17. 如图，在△ $A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 满足 $\vec{A B} = 2 \vec{A D}$ ， $\vec{A C} = 2 \vec{C E}$ ， $A C$ 边上的中线 $B M$ 与 $D E$ 交于点 $O$ .设 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{B M}$ ， $\vec{D E}$ ；

(2)、设 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 4$ ， $< \vec{a}, \vec{b} > = 60^{°}$ ，求 $∠ M O E$ 的余弦值；

(3)、设 $\vec{B O} = x \vec{a} + y \vec{b}$ ，求 $x + y$ 的值.

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18. 在锐角△ $A B C$ 中，已知角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a = c - 2 a \cos B$ .

(1)、求证： $B = 2 A$ ；

(2)、求 $\frac{1}{\tan A} - \frac{1}{\tan B} + \frac{6}{5} \sin B$ 的最小值；

(3)、若 $c = 2$ ，求△ $A B C$ 周长的取值范围.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $A B = 2$ ， $P A = P D = \sqrt{5}$ ， $P B = \sqrt{7}$ .

(1)、求证：平面 $P A D$ ⊥平面 $A B C D$ ；

(2)、求点 $B$ 到平面 $P C D$ 的距离；

(3)、在线段 $P B$ 上是否存在一点 $Q$ ，使得直线 $A Q$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{57}}{19}$ ? 若存在，求出 $\frac{P Q}{P B}$ 的值，若不存在，请说明理由.

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	团员	非团员	合计
男生	15	10	25
女生	12	8	20
合计	27	18	45