浙江省杭州市西湖区绿城育华学校2025-2026学年高一上学期期中考数学试题

试卷更新日期：2026-03-31 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {0, 1}, B = {- 3, 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${0, 1, - 3, 1}$ B、 ${- 3, 0, 1}$ C、 ${0, - 3}$ D、 ${1}$

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2. 已知 $f (x) = \frac{1}{4} {(x - 3)}^{2} + 1$ ，则函数 $f (x)$ 在下列区间内单调递增的是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, 3)$ C、 $(3, + \infty)$ D、 $(2, 3)$

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3. 已知集合 $A = {y ∣ 3 y - 2 \geq 2 y - 3}, B = {x ∣ - 2 \leq x \leq 0}, U = R$ ，则 $A \cap ∁_{U} B =$ （）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2) \cup (0, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2] \cup [0, + \infty)$

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4. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且它的图象关于 $x = 1$ 对称，当 $x_{1} > x_{2} \geq 1$ 时， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 恒成立，则下列命题正确的是（）

A、 $f (0) > 0$ B、 $f (0) < f (π)$ C、 $f (x)$ 在区间 $(0, 2)$ 内单调递增 D、 $f (x)$ 在 $x = 1$ 时取最大值

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5. “函数 $y = a x^{2} + x + a (a > 0)$ 在区间 $[0, 3]$ 单调递增”是“ $0 < a < 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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6. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} f (x - 2), x > 2 \\ x^{2} + x, x \leq 2 \end{cases}$ ，则 $f (0) + f (f (4)) =$ （）

A、0 B、4 C、6 D、8

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7. 已知命题 $p : \exists x \in [1, 2], 2 x - 2 + m > 0$ ，命题 $q : \forall x \in [1, 3]$ ，不等式 $m x \geq x^{2} + 4$ 恒成立，若p和q有且仅有一个正确，则实数m的取值范围为（）

A、 $(- \frac{2}{3}, 5)$ B、 $(- 2, - \frac{2}{3})$ C、 $(- 2, - \frac{2}{3}) \cup (0, 5)$ D、 $(- 2,5)$

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8. 若 $a > 0, b > 0$ ，且 $a b = a + 2 b + 6$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{16}{3}$ D、 $\frac{25}{3}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知集合 $A = {2, 3}$ ， $B = {x ∣ m x + 2 = 0}$ ，若 $A \cap B = B$ ，则符合条件的实数 $m$ 的值可能为（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、0

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10. 以下四个命题中，是真命题的有（）

A、若 $m > 0$ ，则方程 $x^{2} + x - m = 0$ 无实数根 B、“ $x > 2$ ”是“ $2 < x < 4$ ”的必要不充分条件 C、已知 $a > 1$ ，则 $\frac{a^{2} - a + 16}{a - 1}$ 的最小值为9 D、若命题“ $\exists x \in R, x^{2} + 4 x + m = 0$ ”为假命题，则实数m的取值范围是 $(4, + \infty)$

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11. 已知关于x的一元二次不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为M，则下列说法正确的有（）

A、若 $\frac{a}{a_{0}} = \frac{b}{b_{0}} = \frac{c}{c_{0}}$ ，则关于x的不等式 $a_{0} x^{2} + b_{0} x + c_{0} > 0$ 的解集也为M B、若 $M = (- 2, 3)$ ，则 $\frac{4}{b + 1} + \frac{c}{6}$ 的最小值是3 C、若 $M = (- 1, 2)$ ，则关于x的不等式 $a (x^{2} + 1) + b (x - 1) + c < 2 a x$ 的解集为 $N = {x ∣ x < 0$ 或 $x > 3}$ D、若一元二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的值域为 $[0, + \infty)$ ，且 $a < b$ ，则 $\frac{a + 3 b + 4 c}{b - a}$ 的最小值为 $5 + 2 \sqrt{5}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 请写出一个同时满足下列两个条件的函数解析式：① $f (x)$ 是奇函数；② $f (x)$ 是 $(0, + \infty)$ 上单调递减的幂函数： $f (x) =$ ．

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13. 若函数 $f (x) = \sqrt{m x^{2} - 3 m x + m + 5}$ 的定义域为 $R$ ，则实数m的取值范围为．

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14. 若正数x，y满足 $2 x + y = 2 x y$ ，且不等式 $x + 2 y > m^{2} - \frac{3}{2} m$ 恒成立，则实数m的取值范围是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x ∣ - 3 \leq x \leq 5}$ ，集合 $B = {x ∣ 3 + a \leq x \leq 9 - 2 a}$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $∁_{R} (A \cup B)$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要条件，求a的取值范围．

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16. （1）求下列不等式的解集：（i） $2 x^{2} + 3 x - 2 \leq 0$ ；（ii） $\frac{2 - x}{3 x + 1} \geq 1$ ；
（2）已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，设 $g (x) = 2 f (x) - 3$ ，当 $x \in (1, 3)$ 时，求函数 $g (x)$ 的值域．

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17. 已知函数 $f (x) = x - \frac{a^{2}}{x - 1} - 1$ ．

(1)、请用函数单调性定义证明， $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增；

(2)、若 $a > 0$ ，函数 $g (x) = |f (x)|$ ，求 $g (x)$ 在 $(1, 2]$ 上的值域（用含a的式子表示）

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18. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个全等的矩形 $A B C D$ 和 $E F G H$ 构成的面积为 $200 m^{2}$ 的十字形地域．计划在正方形 $M N P Q$ 上建一座花坛，造价为2100元 $/ m^{2}$ ；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为105元 $/ m^{2}$ ；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元 $/ m^{2}$ ．设 $A D$ 长为 $x$ （单位：m）

(1)、设 $A M$ 长为 $y$ （单位：m），求出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

(2)、设总造价为 $S$ （单位：元），求出 $S$ 关于 $x$ 的函数关系式；

(3)、当 $x$ 为何值时，总造价 $S$ 最小，并求出这个最小值．

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19. 对于定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，若 $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ 成立，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的不动点．

(1)、若 $f (x) = x^{2} - x + 1$ ，求 $y = f (f (x))$ 的不动点；

(2)、对于二次函数 $f (x) = 2 x^{2} - (2 + a) x + a - 1$ ．
（i）当 $0 < x < 2$ 时，函数 $g (x) = f (x) + 2$ 有唯一的不动点，求实数a的取值范围；
（ii）若函数 $f (x)$ 有两个不相等的不动点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1}, x_{2} > 0$ ，求 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + 2 x_{1} + \frac{x_{1}}{x_{2}} + 2 x_{2}$ 的最小值．

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