广东省东莞市东莞中学松山湖学校、深圳大学附属中学2025-2026学年高二上学期第二次检测数学试题

试卷更新日期：2025-12-15 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知 $A (0, - 2)$ ， $B (0, 2)$ ，动点P满足 $|P A| - |P B| = 2$ ，则点P的轨迹是（）

A、椭圆 B、双曲线的一支 C、双曲线 D、射线

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2. 一束光线从点 $P (- 2, 4)$ 射出，与 $y$ 轴相交于点 $Q (0, - 1)$ ．经 $y$ 轴反射，则反射光线所在直线的方程为（）

A、 $5 x + 2 y + 2 = 0$ B、 $5 x + 2 y - 2 = 0$ C、 $5 x - 2 y - 2 = 0$ D、 $5 x - 2 y + 2 = 0$

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3. 如图，在四面体OABC中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ．点M在OA上，且 $O M = 2 M A$ ， N为BC中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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4. 在空间直角坐标系中，直线 $l$ 经过点 $P (2, - 1, - 2)$ ，且其方向向量 $\vec{n} = (1 ， 2 ， - 1)$ ，则点 $M (1, 0, - 2)$ 到直线 $l$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、3 D、 $\frac{\sqrt{66}}{6}$

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5. 已知 $A (2, - 1, 2)$ ， $B (3, 1, - 1)$ ， $C (2, 2, - 2)$ ，点 $P (- 1, y, 1)$ 在平面 $A B C$ 内，则 $y$ 的值为（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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6. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 7 ， B C = 4 ， \vec{A D} = 2 \vec{D B} ， C D = \sqrt{19}$ ，则 $B D =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的蒙日圆方程为 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ ．若圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - m)}^{2} = 16$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 的蒙日圆有且仅有一个公共点，则 $m$ 的值为（）

A、 $\pm 3$ B、 $\pm 4$ C、 $\pm 5$ D、 $\pm 3 \sqrt{3}$

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8. 椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，斜率为1的直线 $l$ 过左焦点 $F_{1}$ ，交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，且 $△ A B F_{2}$ 的内切圆的面积是 $π$ ，若椭圆 $C$ 的离心率的取值范围是 $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$ ，线段 $A B$ 的长度的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知直线l： $(a + 2) x + a y - 2 = 0$ 与n： $(a - 2) x + 3 y - 6 = 0$ ，下列选项正确的是（）

A、若 $l // n$ ，则 $a = 6$ 或 $a = - 1$ B、若 $l ⊥ n$ ，则 $a = 1$ C、直线l恒过点 $(1, - 1)$ D、若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 $y = \frac{1}{3} x - 2$

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10. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{2} = 1 (a > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{b^{2}} - \frac{y^{2}}{2} = 1 (b > 0)$ 的公共焦点，点 $P$ 是两曲线的一个交点， $e_{1}$ ， $e_{2}$ 分别为 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的离心率，则（）

A、 $a > b$ B、 $e_{1} e_{2} < 1$ C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 是直角三角形 D、 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}}$ 是个定值

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11. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ， M，N分别是AB， $B_{1} C_{1}$ 的中点，P是 $B C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 的交点，Q为线段 $A_{1} N$ 上的动点（包含线段的端点），K为平面 $A_{1} B C$ 上的动点，则以下说法正确的是（）

A、三棱锥A-QBC的体积为定值 B、Q为线段 $A_{1} N$ 的中点时，异面直线PQ与 $A_{1} B$ 所成角为30° C、若 $P Q ∥ 平面 A_{1} C M$ ，则 $\frac{N Q}{A_{1} Q} = \frac{2}{3}$ D、若K是平面 $A_{1} B C$ 上一动点，则 $| P K | + | K Q |$ 的最小值为 $\frac{5}{3}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知点 $P (- 2, 3, 1)$ 关于坐标平面 $O x y$ 的对称点为 $P_{1}$ ，点 $P_{1}$ 关于坐标平面 $O y z$ 的对称点为 $P_{2}$ ，则 $|P P_{2}| =$ .

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13. 定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1 (m > 0)$ 的一条渐近线过点 $(2, 4)$ ，则 $C$ 的共轭双曲线的标准方程为．

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14. 已知 $P$ 是圆 $C : {(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$ 内一点，若过点 $P$ 恰好可以作7条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点 $P$ 构成的区域（忽略边界）面积为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.

15. 在 $△ A B C$ 中， $\sqrt{3} b \cos A = a \sin B$ .

(1)、求 $∠ A$ 的大小；

(2)、若 $b - c = 4$ ， $a = 2 \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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16. 已知圆C过点 $A (- \sqrt{15}, 1)$ 和 $B (2 \sqrt{3}, 4)$ ，且圆心C在y轴上.

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、若直线l过点 $P (2, 0)$ ，且被圆C截得的弦长为 $4 \sqrt{3}$ ，求直线l的方程.

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17. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B = A C = A A_{1} = \sqrt{5}$ ， $B C = 4$ ，点 $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 的投影是线段 $B C$ 的中点 $O$ .

(1)、证明：在侧棱 $A A_{1}$ 上存在一点 $E$ ，使得 $O E ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ，并求出 $A E$ 的长；

(2)、求平面 $A_{1} B_{1} C$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 夹角的正弦值.

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18. 如图，已知圆E： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ，点 $F (1, 0)$ ， P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q，设动点Q的轨迹为C．

(1)、求动点Q的轨迹C的方程；

(2)、设动点Q的轨迹C分别与x轴交于点A，B，过点F作一条直线与 $C$ 交于M，N两点，求四边形AMBN面积的取值范围．

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19. 在平面直角坐标系xOy中，利用公式 $\{\begin{array}{l} x^{'} = a x + b y \\ y^{'} = c x + d y \end{array}$ ①（其中a，b，c，d为常数），将点 $P (x, y)$ 变换为点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a，b，c，d组成的正方形数表 $(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ 唯一确定，我们将 $(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A，B，…表示．若在平面直角坐标系xOy中，双曲线 $x y = 3$ 通过二阶矩阵 $(\begin{matrix} \frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{6} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \end{matrix})$ 进行线性变换后得到双曲线C．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、根据圆锥曲线的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下列问题：若直线 $l_{2}$ 是过C的右支上点P的切线，且 $l_{2}$ 不与x轴垂直， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线C的左、右焦点，过 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别作直线 $l_{2}$ 的垂线，垂足为 $T_{1}$ ， $T_{2}$ ．
①求证：点 $T_{1}$ ， $T_{2}$ 均在以O为圆心的定圆上，且 $O T_{1} ∥ P F_{2}$ ， $O T_{2} ∥ P F_{1}$ ；
②求证： $| F_{1} T_{1} | \cdot | F_{2} T_{2} |$ 是定值．

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