广东省江门市恩平市郁文中学2025-2026学年高二上学期期中测试数学试卷

试卷更新日期：2025-12-13 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 一支田径队有男运动员24人，女运动员18人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队中抽取了14人，则男运动员被抽取的人数为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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2. 已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 且 $\vec{A B} = \vec{a} + 2 \vec{b}, \vec{B C} = - 5 \vec{a} + 6 \vec{b}, \vec{C D} = 7 \vec{a} - 2 \vec{b}$ ，则一定共线的三点是（）

A、 $A$ ， $B$ ， $D$ B、 $A$ ， $B$ ， $C$ C、 $B$ ， $C$ ， $D$ D、 $A$ ， $C$ ， $D$

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3. 如图，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在 $\vec{O A}$ 上，且满足 $\vec{O M} = 2 \vec{M A}$ ，点 $N$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{N M} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (1, 0, 1)$ ， $\vec{b} = (2, 0, - 2)$ ，若 $(k \vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + k \vec{b}) = 2$ ，则 $k$ 的值为（　　）

A、1 B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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5. 某科研单位对ChatGPT的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第 $75$ 百分位数为（）

A、78.5 B、82.5 C、85 D、87.5

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6. 已知数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{8}$ 的平均数为8，方差为6，则 $3 x_{1} + 2, 3 x_{2} + 2, 3 x_{3} + 2, \dots$ ， $3 x_{8} + 2$ 的平均数和方差分别为（）

A、26，54 B、26，56 C、24，54 D、24，56

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7. 设A，B是两个随机事件，且 $P (A) = \frac{1}{2}, P (B) = \frac{1}{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若A，B是互斥事件，则 $P (A B) = \frac{1}{6}$ B、若 $B \subseteq A$ ，则 $P (A \cup B) = \frac{5}{6}$ C、若A，B是相互独立事件，则 $P (A \cup B) = \frac{2}{3}$ D、若 $P (A \bar{B}) = \frac{1}{4}$ ，则A，B是相互独立事件

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8. 如图，三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = B C = A C = D B = D C$ ，且平面 $A B C$ 与底面 $B C D$ 垂直， $E$ 为 $B C$ 中点， $\vec{E F} = \vec{D A}$ ，则平面 $A D B$ 与平面 $A B F$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $1$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 某高中举行的纪念红军长征出发90周年的知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（）

A、参赛成绩的众数约为75分 B、用分层抽样从该校学生中抽取容量为200的样本，则应在 $[70, 80)$ 内的成绩抽取30人 C、参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 D、参赛成绩的平均分约为72.8分

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10. 关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、若对空间中任意一点 $O$ ，有 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C}$ ，则 $P$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 四点共面 B、已知两个向量 $\vec{a} = (1, m, 3)$ ， $\vec{b} = (5, - 1, n)$ ，且 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m n = - 3$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，且 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ ，则 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2} = 0$ D、 $\vec{a} = (0, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (0, 0, - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(0, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

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11. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, P A = 2, \vec{P E} = \vec{E D}$ ，则（）

A、 $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{A P} - \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ B、 $|\vec{B E}| = 6$ C、异面直线 $B E$ 与 $P A$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、点 $E$ 到平面 $P A C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是 $\frac{2}{3}$ 、 $\frac{3}{5}$ ，那么恰好只有1人解对题的概率是.

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13. 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为.

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14. 如图所示，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $|A B| = |B C| = \frac{1}{2} |P A|$ ， $O$ 是 $A C$ 的中点，且 $O P ⊥$ 底面 $A B C$ ，则直线 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.

15. 已知 $A (1, 0, 1)$ ， $B (2, 2, - 1)$ ， $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = (4, - 2, 4)$ ， $\vec{c} = (3, m, n)$ ．

(1)、求 $cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ ；

(2)、若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ∥ \vec{c}$ ，求实数 $m$ ， $n$ 的值．

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16. 如图，正四棱锥 $S - A B C D$ ， $S A = 2$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $P$ 为侧棱 $S D$ 上的点，且 $\vec{S P} = 3 \vec{P D}$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ S D$ ；

(2)、求异面直线 $S A$ 与 $C P$ 所成角的余弦值．

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17. 今年3月在北京召开了中国人民政治协商会议第十四届全国委员会第二次会议和第十四届人民代表大会第二次会议．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间 $[50, 100]$ ，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求图中a的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；

(2)、今年政府工作报告将“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”列为2024年首要任务．为了更好的帮助同学们理解新质生产力，感受新质生产力强劲“脉搏”，学校团总支利用比例分配的分层随机抽样方法，从 $[80, 90)$ 和 $[90, 100]$ 的学生中抽取7人组成“新质生产力扬帆起航”宣讲团．
①求应从 $[80, 90)$ 和 $[90, 100]$ 学生中分别抽取的学生人数；
②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，写出这个试验的样本空间Ω；（用恰当的符号表示）
③设事件 $A =$ “至少有1人测试成绩位于区间 $[90, 100]$ ”，求在②的条件下事件A的概率．

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18. 甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局，每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛．约定先赢两局者获胜，比赛随即结束，各局比赛结果互不影响，已知每局比赛甲胜乙的概率为 $\frac{3}{4}$ ，乙胜丙的概率为 $\frac{2}{3}$ ，甲胜丙的概率为 $\frac{4}{5}$ ．

(1)、若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率；

(2)、若第一局由甲乙对战，求甲获胜的概率．

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19. 如图，在几何体 $P － A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是梯形，且 $A B // D C$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P A D$ 是等边三角形，已知 $B D = 2 A D = 4$ ， $A B = 2 D C = 2 B C = 2 \sqrt{5}$ ，点M为棱 $P C$ 上的一点.

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $M B D$ ；

(2)、求二面角 $A － P B － D$ 的余弦值.

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