第一章《特殊平行四边形》能力卷-北师大版数学九上单元测试卷

试卷更新日期：2026-08-01 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，正方形ABCD 和正方形CEFG，点E在BC的延长线上.若CE=2BC，则tan∠AFC 的值为( )

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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2. 我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理.如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作 $S_{1},$ 正方形ABCD的面积记作 $S_{3},$ 则 $S_{1}, S_{2}$ 与S₃的关系是( )

A、 $S_{1} + S_{2} < S_{3}$ B、 $S_{1} + S_{2} = S_{3}$ C、 $S_{1} + S_{2} > S_{3}$ D、 $2 S_{1} + S_{2} = S_{3}$

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3. 如图，在矩形ABCD中， E， F是BC边上的三等分点，连接DE， AF相交于点G，连接CG. 若AB=8， BC=12，则tan∠GCF的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 如图，在四边形 ABCD 中， $∠ A = ∠ A B C = 9 0^{°}$ ， AB = 4，BC = 3，AD = 1，点 E为边 AB 上的动点.将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 $9 0^{°}$ 得到线段 DF，连接 FB，FC，EC，则下列结论错误的是（）

A、EC - ED 的最大值是 $2 \sqrt{5}$ B、FB 的最小值是 $\sqrt{10}$ C、EC + ED 的最小值是 $4 \sqrt{2}$ D、FC 的最大值是 $\sqrt{13}$

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5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N^' ，则△MBN^'周长的最小值为（）

A、15 B、5+5 $\sqrt{5}$ C、10+5 $\sqrt{2}$ D、18

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6. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E、F分别是 $A B 、 B C$ 的中点， $C E 、 D F$ 交于点G，连接 $A G$ ，下列结论：① $C E = D F$ ， ② $C E ⊥ D F$ ， ③ $∠ A G E = ∠ C D F$ ， ④ $∠ E A G = 30 °$ ，正确的有几项（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 如图，在 $Rt △ B D F$ 中， $∠ B D F = 90 °$ ， $∠ F = 30 °$ ， $D C$ 是 $B F$ 边上的中线，把线段 $C D$ 沿着 $C B$ 方向平移到点B，使得点C与点B重合，连接 $A D$ ， $A C$ ， $A C$ 与 $B D$ 相交与点O，则下列结论：①四边形 $A B C D$ 为菱形；② $O C = \frac{1}{2} D F$ ；③ $B F = 4 O D$ ；④ $△ D C F$ 的面积为四边形 $A B C D$ 面积的一半．其中正确结论的个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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8. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $P$ 是 $B C$ 边上一点， $A P$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $N$ ，连结 $P N$ 交 $C D$ 于点 $Q$ ，连接 $A Q$ ．给出下面四个结论：① $N A = N P$ ；② $P A$ 平分 $∠ B P N$ ；③ $B P + D Q = P Q$ ；④若 $P$ 是 $B C$ 中点，则 $Q$ 也是 $C D$ 中点．上述结论中，正确结论的序号有（）

A、①②③④ B、①② C、①②③ D、①②④

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9. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 6 cm$ ， $∠ D B C = 30 °$ ，动点 $M$ 、 $N$ 分别在 $B D$ 、 $B C$ 上，则 $M N + M C$ 的最小值是（）cm

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、6 D、3

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二、填空题（每题3分，共18分）

10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2.AD＝4，AC是它的一条对角线.以点B为圆心，BA长为半径画弧，交AC于点E（异于点A），分别以点A和点E为圆心，大于 $\frac{1}{2} AE$ 长为半径，在直线AC的右上方画弧（两弧半径相等），两弧交于点M，连接BM，与AC交于点N，则BN的长为.

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11. 如图，菱形ABCD的边长为10，对角线BD =16， P， Q为BD上两个动点，且PQ=2，则AP +AQ 的最小值为.

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12. 如图，▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作BD的垂线，分别交BC，AD于点M，N，延长DC交直线MN于点E，延长BA交直线MN于点F，分别连接DF，BE，有如下结论：①OA=OC，OB=OD；②四边形BEDF是菱形；③若FA=FN=1，AB=3，则OD= $\sqrt{39}$ ；④若FA=1，AB=3，∠ABE=60°，点P为EF上的一个动点，则PA+PB的最小值是 $\sqrt{21} .$ 上述结论中，所有正确结论的序号是.

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13. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E，F，M分别在 $A B$ ， $D C$ ， $A D$ 边上， $B E = 2 C F, F M$ 分别交对角线 $B D$ 、线段 $D E$ 于点G，H，且 $H$ 是 $D E$ 的中点．若 $C F = 2, ∠ A B D = 30 °$ ，则 $H G$ 的长为．

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14. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $∠ A B C = 6 0^{\circ}$ ， $A B = 2$ ， $E$ 为 $B C$ 上一点，连接 $O E$ ， $D E$ ，则 $O E + D E$ 的最小值等于．

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15. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为1， $G$ 是对角线 $B D$ 上一动点， $G E ⊥ C D$ 于点 $E$ ， $G F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ ，给出四种情况：①若 $G$ 为 $B D$ 的中点，则四边形 $C E G F$ 是正方形；②点 $G$ 在运动过程中，始终满足 $∠ G A D = ∠ G F E$ ；③点 $G$ 在运动过程中， $G E + G F$ 的值为定值1；④点 $G$ 在运动过程中，线段 $E F$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．其中正确的有．

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三、解答题（共7题，共72分）

16. 如图，在▱ABCD中，O是CD的中点.分别延长AO，BC交于点E，连接AC，DE.

(1)、求证：四边形ACED 是平行四边形；

(2)、若BE=8，∠BAE=90°，求四边形ACED的周长.

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17. 如图，在 $▵ A B C$ 中， $A B = A C, A D$ 平分 $∠ B A C$ ，点 $E$ 是线段 $A D$ 的中点，过点 $A$ 作 $A F / / B C$ 交 $C E$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $B F$ ．

(1)、求证： $△ D E C ≌ △ A E F$ ；

(2)、判断四边形 $A D B F$ 的形状并说明理由．

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18. 已知：在正方形ABCD的内侧作等边三角形CDF，连接AF，BF.

(1)、如图①，求证 $△ A D F ≅ △ B C F;$

(2)、如图②，过点C作 $C E ⊥ C F$ ，交AF的延长线于点E，CM平分 $∠ B C E$ ，交AE于点M，连接BM，AE交BC于点N，连接BD交CF于点G，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图②中四条与线段BF相等的线段(线段AF，BF除外)。

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19. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC(不与点B，点C重合)上的一点， ∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点 F.

(1)、如图1，求证： AE=EF；

(2)、如图2， M， E分别为AB， BC的中点，连接DM和AE相交于点G，连接ME，DF.试判断四边形 DMEF的形状，并说明理由；

(3)、若点M是边AB(不与点A，点B重合)上的一点，直接写出BM，BE，CD三边满足什么数量关系时，四边形 DMEF是平行四边形.

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20. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E是 $B C$ 上一点，连结 $A E$ ，在 $A E$ 上截取 $A M = B E$ ，延长 $A D$ 到点F，使 $A F = A E$ ，连结 $F M$ ， $F E$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ F M A$ ．

(2)、若 $A B = 4$ ， $B E = 3$ ，求 $E F$ 的长．

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21. 如图1，正方形ABCD的边长为2．E、F分别为边BC、CD上的动点，△CEF的周长为4，G是CB延长线上的一点，且GB＝DF．

(1)、求证：AG⊥AF；

(2)、试问∠EAF的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；

(3)、如图2，若M为边BC的中点，过点A作AH⊥EF，垂足为H．求MH的最小值．

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22. 在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分探究内容，请你思考并解答．

(1)、【初步尝试】
如图1，在 $△ A B C$ 中， $AB=AC$ ，过点 $B$ 作 $BQ∥AC$ ， $BQ=2$ ，连接 $AQ$ ．点 $P$ 在线段 $A B$ 上，满足 $∠BPC=∠CAQ$ ，求 $AP$ 的长．

(2)、【类比探究】
如图 $2$ ，在 $△ A B C$ 中， $AB=AC$ ，以 $A B$ 为对角线的矩形 $AEBD$ 的顶点 $D$ 在 $A C$ 上， $P$ ， $Q$ 分别是线段 $A B$ ， $BE$ 上的动点（不含端点）， $AP=BQ$ ．当 $∠BPC=∠BCD$ 时，用等式表示出 $CD$ 和 $QE$ 的数量关系，并说明理由．

(3)、【拓展迁移】
如图 $3$ ，在矩形 $AEBD$ 中， $P$ ， $Q$ 分别是线段 $A B$ ， $BE$ 上的动点（不含端点）， $AP=BQ$ ．当 $∠EAQ= \frac{1}{2} ∠DAP$ 时，用等式表示出 $B P$ 和 $QE$ 的数量关系，并说明理由．

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第一章 《特殊平行四边形》能力卷-北师大版数学九上单元测试卷

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共7题，共72分）

第一章《特殊平行四边形》能力卷-北师大版数学九上单元测试卷