1.4 正方形的性质与判定（2）-北师大版数学九上同步分层训练

试卷更新日期：2026-08-01 类型：同步测试

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一、基础训练

1. 下列说法正确的个数是( )
①矩形的对角线互相平分且相等 ②有一组邻边相等的四边形是菱形
③平行四边形的对角相等 ④有一个角是直角的菱形是正方形

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 如图，四边形ABCD 的对角线AC， BD 相交于点O， AC⊥BD ， OA=OC，OB=OD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD 是正方形的是 ( )

A、 ∠DAC=∠BAC B、AB⊥BC C、AB=BC D、AD=BC

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3. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，下列结论中错误的是（）

A、当 $A B = B C$ 时，它是菱形 B、当 $A C$ 平分 $∠ B A D$ 时，它是菱形 C、当 $O A = O B$ 时，它是矩形 D、当 $∠ A B C = 90^{\circ}$ 时，且 $A C = B D$ ，它是正方形

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4. 在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）。

A、BC=CD B、AB=CD C、∠D=90° D、AD=BC

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5. 有下列四个条件：① $A B = B C$ ， ② $∠ A B C = 90 °$ ， ③ $A C = B D$ ， ④ $A C ⊥ B D$ ．从中选取两个作为补充条件，使 $▱ A B C D$ 为正方形（如图）．现在文文选择了②③，你认为文文选择的（填“对”或“不对”）

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6. 如图，点 $P$ 是正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上的一点， $P E ⊥ A D$ 于点 $E$ ， $P E = 3$ ．则点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离为．

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7. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ADC＝90°．则正确的组合是（只需填一种组合即可）．

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $D F ⊥ A C$ 于点 $F$ ，求证：四边形 $A E D F$ 是正方形．

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9. 如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．

(1)、求证：BF=DE；

(2)、当点E运动到AC中点时 (其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．

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二、巩固提升

10. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是( )

A、若AC=BD， AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形 B、若OA=OB， OC=OD，则四边形ABCD是平行四边形 C、若OA=OC， OB=OD， AC=BD，则四边形ABCD是矩形 D、若OA=OC， OB=OD， AB⊥BC，则四边形ABCD是菱形

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11. 如图，点E， F， G， H分别是正方形ABCD 四条边上的点， EF， GH相交于点O，且OA=4，EF⊥AB， GH⊥BC， BE=BH，则四边形BEOH 与四边形DFOG 的面积之和为（ )

A、4 B、4 $\sqrt{2}$ C、8 D、16

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12. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加下列条件中的一个，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（ )。

A、BC=AC B、CF⊥BF C、BD=DF D、AC=BF

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13. 如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个便得到正方形：a.两组对边分别相等；b.一组对边平行且相等；c.一组邻边相等；d.一个角是直角。顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c。其中正确的是（）。

A、仅① B、仅③ C、①② D、②③

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14. 如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交 $∠ B C A$ 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。若点O运动到AC的中点，则 $∠ A C B =$ °时，四边形AECF是正方形。

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15. 如图，顺次连结任意四边形 ABCD 各边的中点，所得的四边形 EF-GH 是中点四边形。有下列四个说法：
①中点四边形 EFGH 一定是平行四边形；
②当四边形 ABCD 是矩形时，中点四边形EFGH 也是矩形；
③当中点四边形 EFGH 是菱形时，四边形ABCD 是矩形；
④当四边形 ABCD 是正方形时，中点四边形EFGH也是正方形。
其中正确的是(填序号)。

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中，D，E分别是 $B C ， A C$ 的中点，过点A作 $A F ∥ B C$ ，交 $D E$ 的延长线于点F，连接 $B F ， C F$ ．

(1)、求证：四边形 $A B D F$ 是平行四边形；

(2)、若 $B F = F C$ ，判断四边形 $A B D F$ 的形状，并说明理由；

(3)、当 $△ B F C$ 满足什么条件时，四边形 $A B D F$ 是正方形？（直接写出条件即可，不要求证明）

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17. 如图，点 $B$ 在直线 $M N$ 上，过 $A B$ 的中点 $O$ 作 $M N$ 的平行线，分别交 $∠ A B M$ 的平分线和 $∠ A B N$ 的平分线于点 $C, D$ ．

(1)、试判断四边形 $A C B D$ 的形状，并证明你的结论；

(2)、当 $A B$ 与 $M N$ 的位置关系为____时，四边形 $A C B D$ 是正方形．

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18. 如图，四边形 $B C E D$ 是平行四边形，延长 $B D$ 至点 $A$ ，使点 $D$ 为 $A B$ 的中点．连接 $A E$ ， $A C$ ， $C D$ ，已知 $A C = B C$ ．

(1)、求证：四边形 $A D C E$ 是矩形．

(2)、若还满足 $A C ⊥ B C$ ，则四边形 $A D C E$ 的形状为．

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三、能力应用

19.
阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形 $A B C D$ 的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形 $E F G H$ 是平行四边形吗？
小明在思考问题时，有如下思路：连接 $A C$ ．
结合小明的思路作答：
（1）若只改变图1中四边形 $A B C D$ 的形状（如图2），则四边形 $E F G H$ 还是平行四边形吗？请说明理由；
参考小明思考问题的方法，解决以下问题：
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接 $A C$ ， $B D$ ．当 $A C$ 与 $B D$ 满足什么关系时，四边形 $E F G H$ 是菱形．请说明理由；
（3）如图2，在（1）的条件下，若连接 $A C$ ， $B D$ ．当 $A C$ 与 $B D$ 满足什么关系时，四边形 $E F G H$ 是正方形．直接写出结论．

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