问题解决策略：归纳-北师大版数学七上同步分层训练

试卷更新日期：2026-07-22 类型：同步测试

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一、选择题

1. 计算： $7^{1} - 4 = 3, 7^{2} - 4 = 45, 7^{3} - 4 = 339, 7^{4} - 4 = 2397, 7^{5} - 4 = 16803, \dots$ ，归纳计算结果中的个位数字的规律，猜想 $7^{2025} - 4$ 的个位数字是（）

A、3 B、5 C、9 D、7

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2. 观察下列单项式： $x, - 4 x^{2}, 9 x^{3}, - 16 x^{4}, 25 x^{5}, \dots$ ，按此规律，可以得到第2026个单项式是（）

A、 $2026 x^{2026}$ B、 $- 2026 x^{2026}$ C、 $2026^{2} x^{2026}$ D、 $- 2026^{2} x^{2026}$

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3. 在一个圆周上取若干个点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，可以将圆分割成若干个不重叠的区域．如图所示：当圆周上有 $2$ 个点时，圆被分成 $2$ 个区域；当圆周上有 $3$ 个点时，圆被分成 $4$ 个区域 $\dots$ ，当圆周上有 $n$ （ $n > 1$ ）个点时，圆被分成的区域个数为（）

A、 $n + 2$ B、 $n + 3$ C、 $2 n - 2$ D、 $2^{n - 1}$

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4. 将一根绳子折成四段，然后按如图所示方式剪开．剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段；剪3刀，绳子变为13段；……；若剪13刀，则绳子的段数变为（　　）

A、53 B、55 C、57 D、59

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5. 某烷类有机化合物中前4种化合物的分子结构模型如图所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为( )

A、18 B、20 C、22 D、24

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6. 如图所示，用棋子摆成英文字母“H”字样，按照这样的规律摆下去，摆成第2024个“H”需要（）个棋子．

A、10117 B、10120 C、10122 D、10125

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7. 如图，每个图形都由若干个大小相同的白色和黑色的小正方形组成，按图中的规律推断，第 $20$ 个图形中黑色和白色的小正方形共有（）

A、 $362$ 个 B、 $384$ 个 C、 $404$ 个 D、 $420$ 个

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8. 如图，这是由一些火柴棒摆成的图案，按照这种方式摆下去，摆第n个图案需用火柴棒的根数为（　　）

A、 $n + 4$ B、 $4 n - 1$ C、 $4 n + 1$ D、 $4 n + 3$

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9. 化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个 $C$ 和4个 $H$ ，第2个结构式中有2个 $C$ 和6个 $H$ ，第3个结构式中有3个 $C$ 和8个 $H$ ，按照此规律，则第 $n$ 个结构式中 $C$ 、 $H$ 的个数之和为（）

A、 $3 n + 2$ B、 $2 n + 3$ C、 $3 (n + 1)$ D、 $2 n + 2$

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10. 在多边形中，三角形是最基本的图形．如图所示，每个多边形都可以分割成若干个三角形．数一数每个多边形中三角形的个数，根据你发现的规律，若一个多边形按图中的分割方式可分割成7个三角形，则这个多边形的边数是（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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二、填空题

11. 2025年4月25日至27日，在瑞士举办的竞技叠杯世界锦标赛中，中国队取得4金6银5铜的优异成绩，若按照下列规律进行叠杯子游戏，则第10个图形需要个杯子．

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12. 观察下图，找出图形变化的规律，第 $2035$ 个图形中黑色正方形的数量是个．

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13. 数学老师根据O中的三个数按照如下规律设置学校 $W I F I$ 密码，根据提供的信息可以推断该校的 $W I F I$ 密码a是．

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14. 如图是一个运算程序，若开始输入的x的值是14，可以发现第一次输出的结果是7，第二次输出的结果是10，规定第n次输出的结果记为a_n（n为正整数），则 $a_{1} = 7, a_{2} = 10 .,$ 那么a₂₀₂₅的值为

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15. 将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中的一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第2025个图中共有正方形的个数是．

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16. 在北师大版教材七年级上册第三章的学习过程中，经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程．纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略，请用归纳策略解答下列问题．
（1）将一根绳子折成3段，然后按如图 $1 - 1$ 所示方式剪1刀，绳子变为4段，按如图 $1 - 2$ 所示方式剪2刀，绳子变为7段，那么剪3刀，绳子变为段……剪a刀，绳子变为段；
（2）按如图2所示，将一段绳子折成4段，剪n刀，绳子变为段．

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三、解答题

17. 结合具体的数的运算，通过特例进行归纳，然后比较下列数的大小：

(1)、小于1的正数a，a的平方， a的立方；

(2)、大于-1的负数b，b的平方，b的立方.

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18. 用同样规格的黑白两种颜色的正方形地砖，按如图所示的方式组成图案：

(1)、根据排列规律，第4个图案中有_____个黑色正方形地砖，有_____个白色正方形地砖；

(2)、请写出第 $n$ （ $n$ 为正整数）个图案中黑色正方形地砖数和白色正方形地砖数（用含 $n$ 的代数式表示）．

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19. 再读教材
请解答教材中的(1)、(2)问。
活学活用
小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数 $2 ， 4 ， 6 ， 8 ， ⋯$ ，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：

(1)、十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系?

(2)、设中间的数为 $x$ ，用代数式表示十字框中的五个数的和；

(3)、若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2010吗?如能，写出这五个数，如不能，说明理由.

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20. 观察下列各式： $\frac{1}{2} = \frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2} ； \frac{1}{6} = \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ； \frac{1}{12} = \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} ； \dots$ 我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似的，对于 $\frac{1}{4 \times 6}$ ，可以用裂项的方法变形为 $(\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) \times \frac{1}{2}$ ．
类比上述方法，解答下列各题：

(1)、 $\frac{1}{9 \times 10} =$ ___________

(2)、计算： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{99 \times 100} =$ ___________．

(3)、计算： $\frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{4 \times 6} + \frac{1}{6 \times 8} + \dots + \frac{1}{2024 \times 2026}$ ．

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21. 归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略．“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程．在数学的学习过程中，我们经常用这样的策略探究规律．
【数学问题】平面图的顶点数、边数与区域数之间存在什么样的数量关系？
【问题探究】为了解决这个问题，我们可以从类似于（ $a$ ）、（ $b$ ）、（ $c$ ）、（ $d$ ）、（ $e$ ）五个图等具体的情形入手，借助表格探索平面图的顶点数 $x$ 、边数 $y$ 与区域数 $z$ 之间的一般规律．
图
顶点数 $x$
边数 $y$
区域数 $z$
$(a)$
3
3
1
$(b)$
4
6
3
$(c)$
6
9
4
$(d)$
8
$m$
5
$(e)$
10
15
$n$
【问题解决】

(1)、将表格数据补充完整， $m =$ ； $n =$ ；

(2)、猜想：一个平面图的顶点数 $x$ 、边数 $y$ 、区域数 $z$ 之间的数量关系为：；

(3)、现已知某一平面图有999个顶点和999个区域，试根据（2）中猜想的关系，确定这个图有多少条边？

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22. “归纳”是我们研究数学问题的重要思想方法，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程，“归纳”是我们发现数学结论，解决数学问题的一种重要策略．“数形结合”也是研究数学问题的一种重要思想方法，在归纳的过程中，借助这种方法能帮助我们直观发现与推理，获得规律与结论．
【探究】数学小组由特殊到一般，利用“归纳”的研究方法，将数字转化为图形变化，对 $1 + 2 + 3 + 4 + \dots + n$ 的结果进行探究．具体操作如图：
分别将①②③④中的图形复制，标上阴影后与对应的原图组成新的图形如下：
直观发现：小正方形的数量和依次为 $1 \times 2$ ， $2 \times 3$ ， $3 \times 4$ ， $4 \times 5$ ， …
因此空白部分的小正方形的数量和依次为 $\frac{1 \times 2}{2}$ ， $\frac{2 \times 3}{2}$ ， $\frac{3 \times 4}{2}$ ， $\frac{4 \times 5}{2}$ ， …
（1）请你归纳总结： $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \dots + n =$ ____；
【迁移】数学小组受此启发，继续对连续奇数的和、连续偶数的和进行研究．如图：
（2）连续奇数的和
请你归纳总结： $1 + 3 + 5 + 7 + \dots + (2 n - 1) =$ _______；
（3）连续偶数的和
请你在网格中画出第④个图，并归纳总结： $2 + 4 + 6 + 8 + \dots + 2 n =$ ____；
【应用】
（4）利用以上结论，计算 $(101 + 103 + 105 + \dots + 199) + (202 + 204 + 206 + \dots + 300)$ 的值．

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图	顶点数 $x$	边数 $y$	区域数 $z$
$(a)$	3	3	1
$(b)$	4	6	3
$(c)$	6	9	4
$(d)$	8	$m$	5
$(e)$	10	15	$n$