北师大版数学七年级上学期期中模拟测试能力卷

试卷更新日期：2026-07-22 类型：期中考试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成的，下图分别是从它的正面和上面看到的形状图，则该几何体最少是用（）个小正方体搭成．

A、5 B、6 C、7 D、8

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2. 已知非零实数a，b， $∣ a b ∣ = - a b, ∣ a + b ∣ = a - ∣ b ∣,$ 用数轴上的点表示a，b，下列选项正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块印章，从正面看这个印章，得到的平面图形是( )

A、 B、 C、 D、

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4. 一条东西向的街道可视为数轴，自动换电站位于原点 $O$ ．某智能无人售卖车续航为 $20 km$ ，即换一次电池最多可行驶 $20 km$ ．某天售卖车依次接到7个订单，运送顺序为 $A \to B \to C \to D \to E \to F$ $\to G$ ，对应的点位如图所示：（单位长度： $1 km$ ）
售卖车从自动换电站满电出发，最终需回到换电站．在售卖过程中，如果续航不足，需返回换电站更换电池（满电）后再继续配送．关于以下描述：
①售卖车在完成 $C$ 点订单后，需返回换电站换电池；
②完成 $D$ 点售卖订单后，显示剩余续航 $10 km$ ；
③售卖过程中，售卖车需要至少换3次电池；
④售卖车完成所有订单后回到换电站，共行驶 $40 km$ ．
正确的有（）

A、①② B、②③ C、③④ D、①④

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5. 已知3a-2b=-6，则6a-4b+2035=（　　）

A、2023 B、2024 C、2025 D、2026

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6. 已知 $A = x^{3} + 2 x + 3 ， B = 2 x^{3} - m x + 2$ ．若 $2 A - B$ 的值与 $x$ 无关，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 4$ B、4 C、 $- 2$ D、2

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7. 如图，一个大长方形被分割成五个小长方形，④号和⑤号均为正方形。已知⑤号正方形的边长为1，②号小长方形的长与宽差3。若想求得大长方形的面积，甲、乙、丙、丁四位同学提出了自己的想法：
甲说：只需要知道小长方形①的周长；
乙说：只需要知道小长方形①与③的周长差；
丙说：只需要知道小长方形②与④的周长和；
丁说：只需要知道大长方形的周长；
下列说法正确的是（）

A、只有甲正确 B、甲和乙均正确 C、乙、丙和丁均正确 D、甲、丙和丁均正确

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8. 已知a，b，c是有理数，当 $a + b + c = 0$ ， $a b c < 0$ 时，求 $\frac{| a |}{b + c} + \frac{| b |}{a + c} - \frac{| c |}{a + b}$ 的值为（）

A、1或-3 B、1，-1或-3 C、-1或3 D、1，-1，3或-3

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9. 如果 A、B 都是关于 x 的次数不同的单项式（ A，B 都不是常数项），且 $A \cdot B$ 是一个八次单项式，则下列说法中正确的是（）
① $A + B$ 可能是一个单项式；② $A - B$ 可能是七次二项式；③ $A - B$ 的项数与 $A + B$ 的项数一定相同；
④ $A - B$ 的次数与 $A + B$ 的次数不一定相同．

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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10. 醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（）

A、18 B、20 C、22 D、24

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 如图，正方体的平面展开图，每个正方形中都标注了一个汉字．反向思考，正方体中，标注“学”的面的对面标注的汉字是．

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12. 如果关于字母x的二次多项式 $- 3 x^{2} - m x + n x^{2} - x + 3$ 的值与x的取值无关，则 $m - n$ 的值为．

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13. 当x=-2时，代数式 ax+b+1的值为-6. 则当x=2时， ax-b+1=.

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14. 如图，图①和图②是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入六个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多5，记图①中阴影区域周长为 $C_{1}$ ，图②中阴影区域周长为 $C_{2}$ ，则 $C_{1} - C_{2} =$ ．

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15. 在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图 $1$ 所示．仿照图 $1$ ，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，过程部分如图 $2$ 所示，则 $a + b + c + d + e + f + g + h =$ ·

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16. 定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为 $3 n + 1$ ；②当n为偶数时，结果为 $\frac{n}{2^{k}}$ （其中k是使运算结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取 $n = 25$ 时，运算过程如图．若 $n = 34$ ，则第2024次“F运算”的结果是．

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 先化简，后求值： $- 2 (m^{3} n^{2} - 3 m^{2} n) - [m^{2} n - 5 (m^{3} n^{2} - m^{2} n) + 2 m^{3} n^{2}],$ 其中m=1，n=-2.

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18. 已知 $A = 2 x^{2} + y^{2} - x y, B = x^{2} - y^{2},$

(1)、求A-2B.

(2)、当x=5， y=-2时，求A-2B．

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19. 如图①，在平整的地面上，用多个棱长均为 $1cm$ 的小正方体堆成一个几何体．

(1)、在图①中，共有_______个小正方体．

(2)、在图②，图③中分别画出这个几何体的主视图（从前面看）与俯视图（从上面看），并写出俯视图的面积．

(3)、若现在你还有一些棱长均为 $1cm$ 的小正方体，要求保持俯视图（从上面看）与左视图（从左面看）的形状不变，最多可以再添加_______个小正方体．

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20. 素材1：每年秋天是灵昆柿子饼盛产期．小黄同学打算从灵昆寄5袋柿子饼到杭州，以每袋3千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表所示：
柿子饼袋
①
②
③
④
⑤
与标准重量的差值（单位：千克）
0.1
﹣0.3
0
﹣0.1
0.2
素材2：小黄同学选择了某快递，收费标准如下：3千克以内15元（含3千克），超过1千克的部分为2元/每千克（不足1千克按1千克计）．现该快递公司提供多种寄件方式：
纸箱类型
中型纸箱
大型纸箱
可容纳袋数（袋/个）
2
4
重量（千克/个）
0.4
0.7
价格（元/个）
3
5
方案一：小黄购买了中型纸箱将重量最低的②、④柿子饼袋打包在一起，其余每小袋各自寄出．
方案二：．

(1)、【任务1】求这5袋柿子饼的总重量．

(2)、【任务2】求方案一所需要的费用．

(3)、【任务3】请你设计方案二，使它的费用低于方案一，并计算你的方案费用．

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21. 综合与实践
七年级某班的一个学习小组利用收集到的小石子开展有关“形数”的探究活动.
[操作与发现]同学们在摆放小石子的过程中发现了一些有趣的“形数”。
如图(1)，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，不妨将这些数称为“三角形数”，如图(2)，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，不妨将这些数称为“正方形数”
[观察与思考]同学们设第 $n$ 个“三角形数”为x，第 $n$ 个“正方形数”为y，并列出下面的表格尝试从不同的角度寻找其中的规律。

$n$
1
2
3
4
5
…
x
1
3
6
10
a
…
y
1
4
9
16
b
…

(1)、表中的a，b的值分别为：，；

(2)、下列各数中，既是“三角形数”又是“正方形数”的是（填序号）；
① 21 ② 25 ③36 ④49；

(3)、[猜想与应用]
观察图形与表格，猜想n与x，y之间的关系，并直接写出用含x，y的代数式表示n为；

(4)、同学们还发现当n>1时，任意一个“正方形数”均可以看作某两个相邻的“三角形数”之和。据此请判断196可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和，并写出你的判断过程.

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22. 阅读材料，解决下列问题：

背景	“生命在于运动”，深圳高级中学七年级某班数学兴趣小组对运动与心率的关系及心率恢复进行查找资料并研究．
材料1	最大心率（简称 $M H R$ ）是指正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，目前常用公式“ $208 - 0.7 \times$ 年龄”估算最大心率．基于最大心率，我们可以将运动心率分为五个区间：热身区：最大心率的 $50 % ~ 60 %$ ；燃脂区：最大心率的 $60 % ~ 70 %$ ；有氧区：最大心率的 $70 % ~ 80 %$ ；无氧区：最大心率的 $80 % ~ 90 %$ ；极限区：最大心率的 $90 % ~ 100 %$ ．
材料2	心率恢复（ $H R R$ ）是指在运动结束后心率从高峰下降到平稳状态的速度．日常生活中，我们可以以运动停止1分钟后的心率下降次数作为简易自测指标来简单评估自身身体状况．参考值：运动停止1分钟后心率下降 $> 20$ 次为优秀， $12 ~ 20$ 次为正常， $< 12$ 次时需适当调整运动强度并关注心脏健康．
材料3	运动时，心跳速率超过最大心率，会有生命危险．

(1)、小华的年龄为m岁，他的最大心率为______次/分（用含m的代数式表示）．某次运动结束时测得他的心率恰好为最大心率，如果要达到优秀的心率恢复程度，他在运动停止1分钟后心率需要小于______次/分（用含m的代数式表示）．

(2)、小智今年15岁，他需要有效锻炼有氧能力（其心率保持在有氧区），请为他计算训练效果最佳的心率区间（计算结果保留整数）．

(3)、小智某次运动时测得他的心率为200次/分，小智的运动______（填“有”或者“无”）生命危险．

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23. 概念学习
规定：求n个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，
比如 $2 \div 2 \div 2$ ， $(- 3) \div (- 3) \div (- 3) \div (- 3)$ 等，类比有理数的乘方，我们把 $2 \div 2 \div 2$ 写作 $2^{③}$ ，读作“2的3次商”； $(- 3) \div (- 3) \div (- 3) \div (- 3)$ 写作 ${(- 3)}^{④}$ ，读作“ $- 3$ 的4次商”，一般地，把 $a \div a \div a \div \dots \div a$ （ $a \neq 0$ ）这样n个a相除，写作 $a^{ⓝ}$ ，读作“a的n次商”．
初步探究：
（1）请直接写出计算结果： $3^{②} =$            ， ${(- \frac{4}{3})}^{③} =$           ；
（2）下列关于除方说法中，错误的是（       ）（单选）
A.当 $m \neq 0$ 时， $m^{②} = 1$
B.当 $m \neq 0$ 时， ${(- \frac{1}{m})}^{③} = - m$
C.正数的n次商结果是正数，负数的n次商结果是负数
D.n次商等于它本身的数是1
深入思考：
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
除方→ $9^{⑤} = 9 \div 9 \div 9 \div 9 \div 9 = 9 \times \frac{1}{9} \times \frac{1}{9} \times \frac{1}{9} \times \frac{1}{9} = {(\frac{1}{9})}^{3}$ →乘方（幂）的形式．
（3）归纳：请把有理数a的n次商（ $a \neq 0$ ， $n \geq 3$ ），写成乘方（幂）的形式为： $a^{ⓝ} =$           ；
（4）计算： $2^{⑤} \times {(- \frac{1}{2})}^{⑥} - (- 48) \div {(\frac{1}{4})}^{④}$

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柿子饼袋	①	②	③	④	⑤
与标准重量的差值（单位：千克）	0.1	﹣0.3	0	﹣0.1	0.2

纸箱类型	中型纸箱	大型纸箱
可容纳袋数（袋/个）	2	4
重量（千克/个）	0.4	0.7
价格（元/个）	3	5

$n$	1	2	3	4	5	…
x	1	3	6	10	a	…
y	1	4	9	16	b	…