（培优版）浙教版数学八上 2.7 探索勾股定理同步练习

试卷更新日期：2026-07-19 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A B D$ 中， $A B = A C = A D$ ， $A C ⊥ A D$ ， $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ， $A E$ 的反向延长线与 $B D$ 交于点 $F$ ，连接 $C D$ ，则线段 $B F$ ， $D F$ ， $C D$ 三者之间的关系为（）

A、 $B F - D F = C D$ B、 $B F + D F = C D$ C、 $B F^{2} + D F^{2} = C D^{2}$ D、 $2 B F - 2 D F = C D$

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 26$ ，且 $B D ， C E$ 分别是 $A C ， A B$ 上的高， $F ， G$ 分别是 $B C ， D E$ 的中点，若 $E D = 10$ ，则 $F G$ 的长为（　　）

A、10 B、12 C、13 D、14

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3. 如图，商用手扶梯AB的坡比为1： $\sqrt{3}$ ，已知扶梯的长AB 为12米，则小明乘坐扶梯从B 处到A处上升的高度AC为 ( )

A、6米 B、 $6 \sqrt{3}$ C、12米 D、 $12 \sqrt{3}$ 米

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4. 如图，圆柱底面的周长为16 dm，圆柱高为8dm，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A 爬到点 C，再从点 C 爬回点 A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为 ( )

A、20 dm B、10 $\sqrt{2}$ dm C、24 dm D、16 $\sqrt{2}$ dm

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5. 如图，BD是△ABC的角平分线，BA=BC=10，AC=12，DE//BC，P，Q分别是BD和BC上的任意一点；连接PA，PC，PQ，AQ，给出下列结论：
①PC+PQ≥AQ；②AE+DE=BC；③PC+PQ的最小值是 $\frac{24}{5}$ ；④若PA平分∠BAC，则△APD的面积为9.
其中正确的是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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二、填空题

6. “今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何?”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.如图，即AC=5，DC=1，BD=BA，则 BC =.

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7. 如图，在正方形网格中， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 都是格点，则 $∠ B A C + ∠ C D E =$ ．

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8. 如图，在Rt△ABC中，AC=BC ， G为AB的中点，直角∠MGN绕点G旋转，它的两条边分别交CA ， BC的延长线于点E ， F ，连接EF ，当AE=6，BF=10时，EF的长为 .

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三、解答题

9. 已知 $△ A C B$ 和 $△ E C D$ 都是等腰直角三角形， $C A = C B ， C E = C D,$ $∠ A C B = ∠ E C D = 90 ° ， △ A C B$ 的顶点 $A$ 在 $△ E C D$ 的斜边 $D E$ 上．

(1)、如图1，连接 $B D$ ．
①请你探究 $A E$ 与 $B D$ 之间的关系，并证明你的结论；
②求证： $A E^{2} + A D^{2} = 2 A C^{2}$ ．

(2)、如图2，若 $A E = 2 ， A C = 2 \sqrt{5}$ ，点F是 $A D$ 的中点，求 $C F$ 的长．

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10. 消防车上的云梯示意图如图 $1$ 所示，云梯最多只能伸长到 $15$ 米，消防车高 $3$ 米，如图 $2$ ，某栋楼发生火灾，在这栋楼的 $B$ 处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置 $A$ 与楼房的距离为 $12$ 米．

(1)、求 $B$ 处与地面的距离．

(2)、完成 $B$ 处的救援后，消防员发现在 $B$ 处的上方 $3$ 米的 $D$ 处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从 $A$ 处向着火的楼房靠近的距离 $A C$ 为多少米？

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11. 综合与实践
【实践任务】测量旗杆高度．
【工具素材】卷尺，升旗的绳子．
【备注说明】旗杆滑轮处到旗杆顶部的距离忽略不计；升旗的绳子为环形结构，当绳子不解开时的重合长度记为叠合长度．

(1)、【实施方案1】
步骤1：该小组通过查阅相关信息得知旗杆a升旗绳子的叠合长度为17 m；
步骤2：如图1，将绳子沿地面拉直时，测量旗杆底端与绳子末端之间的距离BC为8 m．
根据上述数据，可计算出旗杆a的高度为m．

(2)、【实施方案2】
步骤1：如图2，通过测量发现旗杆b升旗绳子的叠合长度比旗杆长1 m；
步骤2：将绳子沿地面拉直，并让绳子末端在地面上，测量得到旗杆底端与绳子末端相距5 m．
结合方案2中的数据，请求出旗杆b的高度．

(3)、【实施方案3】
步骤1：如图3，将旗杆c的升旗绳子解开，令一端与旗杆底部重合（记为点C），另一端拉直至地面的点B处，并测得BC长度为5 m；
步骤2：如图4，将绳子端点B沿地面前进4 m至点D ，发现此时绳子另一端上升2 m至点E ．（备注：点D、B、C在同一水平面上，绳子保持拉直状态）
结合方案3中的数据，求旗杆c的高度．

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12. 小星学习了最短路径问题后，做了一个高为 $10 cm$ ，底面圆的周长为 $24 cm$ 的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点 $A$ 处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务．
任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点 $A$ 相对的中点 $P$ 处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是___________
任务二：小星把圆柱的高变为 $12 \sqrt{3} cm$ ，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部 $A$ 处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点 $A$ 相对的点 $M$ 处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点 $B$ 处（此时 $A 、 B$ 两点重合）小星沿着 $A D$ 竖直方向将圆柱剪开，得到长方形 $A B C D$ （如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想 $M B$ 平分 $∠ A M C$ ，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由．
任务三；小星准备了一张边长为 $20 cm$ 的正方形纸片（如图④），点 $E$ 为 $B C$ 中点，他将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 对折到正方形内部 $△ A F E$ 的位置，并把线段 $A B$ 抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点 $F$ 处，不计蜂蜜的宽度，你能帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程．

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（培优版）浙教版数学八上 2.7 探索勾股定理 同步练习

一、选择题

二、填空题

三、解答题

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