北师大版数学九年级上册 2.1 认识一元二次方程三阶训练

试卷更新日期：2026-07-15 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知关于x的方程 $(m + 1) x^{2} - 3 = 0$ 是一元二次方程，则m的取值范围是（）

A、m>-1 B、m≠0 C、m≤-1 D、m≠-1

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2. 已知关于x的二次三项式 $a x^{2} + b x + c$ 的部分对应值如表：
x
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
$a x^{2} + b x + c$
-0.69
-0.36
-0.01
0.36
0.75
据此可估计关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根的取值范围为（）

A、3.1<x<3.2 B、3.3<x<3.4 C、3.2<x<3.3 D、3.4<x<3.5

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3. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 5 x + p^{2} - 2 p +$ 5=0的一个根为1，则实数p的值是 ( )

A、4 B、0 或2 C、1 D、-1

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4. 如图，边长为 10cm的正方形纸片 ABCD，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形.再沿着虚线折起，可以得到一个长方形盒子，点 A，B，C，D正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为 36cm² ，其中 AE=BF.若设 AE的长为 xcm，则下列方程正确的是( )

A、 $(10 - 2 x)^{2} = 100 - 36$ B、 $\frac{{(10 - 2 x)}^{2}}{2} = 100 - 36$ C、 $(10 - 2 x) x \cdot 4 + 2 x^{2} = 36$ D、 $100 - 2 x^{2} = 36 \times 2$

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5. 如图，在一块长28m、宽10m的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是 $243 m^{2},$ 设小路的宽度为xm，根据题意，下面所列方程正确的是（）

A、28×10-28x-10x=243 B、2（28-x+10-x）=243 C、 $(28 - x) (10 - x) + x^{2} = 243$ D、（28-x）（10-x）=243

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6. 《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺(AC=1尺)，将它往前推进两步(EB=10尺)，此时踏板升高离地五尺(BD=5尺)，则秋千绳索(OA或OB)的长度为多少尺?设秋千绳索OA的长为x尺，则可列方程为( )

A、 $x^{2} + 1 0^{2} = {(x - 1)}^{2}$ B、 $x^{2} = {(x - 5)}^{2} + 1 0^{2}$ C、 $x^{2} = {(x - 4)}^{2} + 1 0^{2}$ D、 $x^{2} + 1 0^{2} = {(x - 4)}^{2}$

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7. 已知a是方程 $x^{2} - 2020 x + 1 = 0$ 的一个根，则 $a^{2} - 2019 a + \frac{2020}{a^{2} + 1}$ 的值为（）.

A、2017 B、2018 C、2019 D、2020

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8. 若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ac≠0）有一根为x＝m，则关于x的一元二次方程 $c x^{2} - b x + a = 0$ （ac≠0）必有一根为（）

A、－m B、 $\frac{1}{m}$ C、m D、 $- \frac{1}{m}$

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二、填空题

9. 已知 $m$ 是一元二次方程 $x^{2} + 4 x - 2 = 0$ 的一个根，则 $(m + 5) (1 - m)$ 的值为．

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10. 若关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两根为2 和-3，则 $\frac{c}{a + b}$ 的值为.

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11. 若x=a 是方程 $x^{2} - 2024 x + 1 = 0$ 的一个根，则 $a^{2} - 2023 a - \frac{a^{2} + 1}{2024}$ 的值为.

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12. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两根分别为 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = - 2$ ，则方程 $a (x - 1)^{2} + b (x - 1) + c = 0 (a \neq 0)$ 的两根分别为．

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三、解答题

13. 阅读理解题：
问题：已知方程x²+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x．
从而x= $\frac{y}{2}$
把x= $\frac{y}{2}$ 代人已知方程，得
( $\frac{y}{2}$ )²+ $\frac{y}{2}$ -1=0，
整理，得y²+2y-4=0，
因此，所求方程为y²+2y-4=0．
请你用上述思路解决下列问题：

(1)、已知方程x²+3x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；

(2)、已知关于x的一元二次方程ax²-bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．

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x	3.1	3.2	3.3	3.4	3.5
$a x^{2} + b x + c$	-0.69	-0.36	-0.01	0.36	0.75

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