北师大版数学九年级上册 1.4 正方形的性质与判定三阶训练

试卷更新日期：2026-07-15 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形，下列结论中不正确的是（）

A、当 $A B = B C$ 时，它是菱形 B、当 $A C ⊥ B D$ 时，它是菱形 C、当 $∠ A B C = 90 °$ 时，它是矩形 D、当 $A C = B D$ 时，它是正方形

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2. 如图，在正方形ABCD中，AD=5，E，F是正方形ABCD内两点，且AE=CF=3，BE=DF=4，则EF的长为（ )。

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3} \sqrt{2}$ C、 $\frac{7}{5}$ D、 $\sqrt{2}$

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3. “出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形 $A B C D 、 B E F G 、 A H I G$ 均为正方形．若 $S_{正方形 A H I G} = 20$ ， $A D = 3$ ，则 $S_{△ G F I} =$ （）

A、 $\sqrt{11}$ B、 $3 \sqrt{11}$ C、 $\frac{3 \sqrt{11}}{2}$ D、 $\sqrt{20}$

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4. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $P$ 是 $B C$ 边上一点， $A P$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $N$ ，连结 $P N$ 交 $C D$ 于点 $Q$ ，连接 $A Q$ ．给出下面四个结论：① $N A = N P$ ；② $P A$ 平分 $∠ B P N$ ；③ $B P + D Q = P Q$ ；④若 $P$ 是 $B C$ 中点，则 $Q$ 也是 $C D$ 中点．上述结论中，正确结论的序号有（）

A、①②③④ B、①② C、①②③ D、①②④

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5. 就实证科学而言，宇宙这部著作是用数学语言写成的．其中勾股定理是我们的祖先在“立竿见影，以正农时”，探索天地相对运动周期时捕捉到的数学原理．它所蕴含的“天道之数”，被人们用以作为沟通天地、与自然对话的凭借，最早被“放之四海”，构筑起中华文明的大厦．如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，以其三边为边分别向外作正方形，连接 $D N$ ， $E F$ ， $M G$ ，设 $△ A D N$ ， $△ B E F$ ， $△ C M G$ 的面积分别是 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $S_{1} + S_{2} = S_{3}$ B、 $S_{2} + S_{3} = S_{1}$ C、 $S_{3} = \sqrt{S_{1} \cdot S_{2}}$ D、 $S_{1} = S_{2} = S_{3}$

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6. 如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，E 为边 BC 上的动点(不与端点重合)，点F 在 BC 的延长线上，且CF=BE，过点 F 作 FG⊥BD 于点 G，连结AE，EG，则下列比值为定值的是 ( )

A、 $\frac{E G}{A E}$ B、 $\frac{E G}{B G}$ C、 $\frac{E G}{E F}$ D、 $\frac{E G}{D G}$

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7. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E是 $A D$ 边的中点，P是 $A B$ 边上的动点（不与点A，B重合），以E为中心，将线段 $E P$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ ，得到线段 $E Q$ ．给出下面四个结论：
① $∠ A P E = ∠ Q E D$ ；
② $A P < A E$ ；
③D，Q两点间距离的最小值大于C，Q两点间距离的最小值；
④点Q到直线 $A D$ ， $B C$ 的距离相等．
上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A、①③ B、①④ C、①③④ D、②③④

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8. 如图，点 $P$ 是正方形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 上一点， $P E ⊥ B C$ 于点 $E$ ， $P F ⊥ C D$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ ，给出下列四个结论：① $A P = E F$ ；② $P D = \sqrt{2} E C$ ；③ $∠ P F E = ∠ B A P$ ；④ $P B^{2} + P D^{2} = 2 P A^{2}$ ．其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

9. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ，点E在 $B C$ 上且 $C E = 1$ ，点F是 $C D$ 边上的动点，则 $A F + E F$ 的最小值为．

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10. 正方形工整、匀称、美观，设计方便，在人们的生活和生产实际中有着广泛的应用.如图 1 为某园林石窗，其外框为边长为 6 的正方形 $A B C D$ (如图 2)，点 $E, F, G, H$ 分别为边上的中点，以四边形 $E F G H$ 各边的三等分点的连线为边，分别向内作等边三角形（如 $A I J K ）$ ，四个等边三角形的顶点恰好是正方形 $M N P Q$ 各边的中点，则点 $H, M$ 之间的距离是。

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11. 如图，分别以△ABC的边AB，AC为边往外作正方形ABEF与正方形ACGD，连结BD，CF，DF，若AB=1，AC=2，则 $B C^{2} + D F^{2} =$ .

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三、解答题

12. 【问题情境】
数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图 2，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE， EF为边作矩形DEFG.
【特例探究】
启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图 1，当∠AED=90°时，点F与点C重合，此时可以证明矩形DEFG是正方形.
【探究发现】

(1)、博学小组发现，如图 2，当∠AED>90°时，点F落在BC边上，此时，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，通过证明△EMF≌△END，进而可以证明出矩形DEFG是正方形，请你帮助博学小组完成证明.

(2)、奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图 3，当∠AED<90°时，点F落在BC的延长线上.
①此时矩形DEFG还是正方形吗?如果是，请证明；如果不是，请说明理由.
②当∠AED=75°，且DE=2时，直接写出AD的长.

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13. 在正方形 $A B C D$ 中，点 $P$ 是对角线 $B D$ 所在直线上的一点，点 $E$ 在 $A D$ 的延长线上，且 $P A = P E$ ，连接 $C E$ ．

(1)、如图①，当点 $P$ 在线段 $B D$ 上时， $∠ C P E =$ ________ $°$ ；

(2)、如图②，当点 $P$ 在 $B D$ 的延长线上时， $C P$ 交 $A D$ 的延长线于点 $F$ ，其他条件不变，判断 $△ C P E$ 的形状并说明理由；

(3)、如图③，把正方形 $A B C D$ 改为菱形 $A B C D$ ，点 $P$ 在 $B D$ 的延长线上， $C P$ 交 $A D$ 的延长线于点 $F$ ，其他条件不变，当 $∠ A B C = 120 °$ 时，直接写出线段 $P A$ 与线段 $C E$ 的数量关系．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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