北师大版数学九年级上册 1.4 正方形的性质与判定二阶训练

试卷更新日期：2026-07-14 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列条件不能判断四边形为正方形的是（）

A、对角线互相垂直且相等的平行四边形 B、对角线互相垂直的矩形 C、对角线互相垂直且相等的四边形 D、对角线相等的菱形

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2. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，下列结论错误的是（）

A、当 $A B = B C$ 时， $▱ A B C D$ 是菱形 B、当 $A C ⊥ B D$ 时， $▱ A B C D$ 是菱形 C、当 $∠ A B C = 90 °$ 时， $▱ A B C D$ 是矩形 D、当 $A C = B D$ 时， $▱ A B C D$ 是正方形

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3. 如图，一个正方形纸片，剪去一个角后得到一个五边形，则 $∠ 1 + ∠ 2$ 的度数为（）

A、 $90 °$ B、 $180 °$ C、 $270 °$ D、 $360 °$

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4. 如图，面积分别是49和25的两个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则 $M N$ 的长为（）

A、9 B、10 C、12 D、13

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5. 如图，在边长为6的正方形 $A B C D$ 中，点E，F分别是边 $A B ， B C$ 上的动点，且满足 $A E = B F$ ， $A F$ 与 $D E$ 交于点O，点M是 $D F$ 的中点，G是边 $A B$ 上的点， $A G = 2 G B$ ，则 $O M + \frac{1}{2} F G$ 的最小值是（）

A、4 B、5 C、8 D、10

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6. 如图，某兴趣小组需要在正方形ABCD上剪下机翼角(阴影部分)，点E在对角线BD上，若裁剪过程中满足DE=DA，则“机翼角”∠BAE的度数是( )．

A、30° B、23.5° C、22.5° D、22°

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7. 将边长为6的正方形纸片按图1所示的方式折叠，可将其分成图2所示的①，②，③三个区域，其中③号区域（阴影）的面积为（）

A、 $\frac{81}{5}$ B、 $\frac{63}{4}$ C、15 D、 $\frac{72}{5}$

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8. 我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理.如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作 $S_{1},$ 正方形ABCD的面积记作 $S_{3},$ 则 $S_{1}, S_{2}$ 与S₃的关系是( )

A、 $S_{1} + S_{2} < S_{3}$ B、 $S_{1} + S_{2} = S_{3}$ C、 $S_{1} + S_{2} > S_{3}$ D、 $2 S_{1} + S_{2} = S_{3}$

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9. 如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形 $A B C D$ 在第一象限内， $A D ∥ y$ 轴，点A的坐标为 $(6, 4)$ ，直线l的表达式为： $y = \frac{1}{2} x - 2$ ，将直线l沿y轴向上平移m个单位，使平移后的直线与正方形 $A B C D$ 有交点，则m的取值范围是（）

A、 $0 < m < \frac{9}{2}$ B、 $0 \leq m \leq \frac{9}{2}$ C、 $1 < m < \frac{9}{2}$ D、 $1 \leq m \leq \frac{9}{2}$

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二、填空题

10. 正方形 ABCD中，点O为对称中心， EF过点O且点E在AD上，点F在BC上， BF=3， CF=1，则EF=.

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11. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是对角线 $A C$ 上的一点，作 $E F ⊥ A B$ 于点 $F$ ，连接 $D E$ ，若 $B C = 9$ ， $B F = 3$ ，则 $D E =$ ．

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12. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，连接 $A C 、 B D$ ， $A B = \sqrt{5}$ ， $A C = 2$ ，以 $B D$ 为边作正方形 $B E F D$ ，则正方形 $B E F D$ 的周长为．

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13. 图（1）是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶. 如图（2）所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变 $∠ A D C$ 的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A，C之间的距离）. 已知 $A B = 40 c m$ ， $∠ A D C = 6 0^{°}$ ，当千斤顶升高cm时，四边形ABCD为正方形. （参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，结果保留整数）

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14. 如图，正方形ABCD的边长为4，G是对角线BD上一动点， GE⊥CD于点 E， GF⊥BC于点 F，连接EF，给出四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②若G为BD上任意一点，则AG=EF；③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值4；④点 G在运动过程中，线段EF的最小值为 $2 \sqrt{2} .$ 正确的有.

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三、解答题

15. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，延长 $B C$ 到点 $E$ ，使 $B E = B D$ ．连接 $A E$ ， $D E$ ．

(1)、求 $∠ C D E$ 的度数；

(2)、若 $A B = 1$ ，求 $A E$ 的长．

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16. 如图1，四边形 $A B C D$ 是一个边长为4的正方形，点 $E$ 和 $F$ 分别是边 $A B$ 和 $A D$ 上的动点（点 $E$ 与点 $A, B$ 不重合，点 $F$ 与点 $A, D$ 不重合），且 $A F = B E$ ，连接 $C E$ ， $B F$ ，相交于点 $G$ ．

(1)、请判断 $C E$ 与 $B F$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、如图2，当点 $E$ ， $F$ 运动到 $A B$ ， $A D$ 的中点时，连接 $D G$ ，请判断 $C D$ 与 $D G$ 之间的数量关系，并说明理由．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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