北师大版数学九年级上册 1.3 矩形的性质与判定二阶训练

试卷更新日期：2026-07-14 类型：同步测试

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一、选择题

1. 矩形具有而菱形不具有的性质是（）

A、四个角相等 B、四条边相等 C、对角线互相平分 D、对角线互相垂直

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2. 如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 O，则下列结论一定正确的是（ )

A、AB=BC B、∠BAC=∠ACB C、AC⊥BD D、AC=BD

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3. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点 $O$ ，点P为AB边上一动点(不与点A、B重合)， $P E ⊥ O A$ 于点 $E$ ， $P F ⊥ O B$ 于点 $F$ ，若 $A C = 8$ ， $B D = 6$ ，则EF的最小值为 ( )

A、3 B、2 C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{5}{2}$

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4. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是边AD 的中点，点 $F$ 在对角线AC 上，且 $A F = \frac{1}{2} A O$ ，连接EF，若 $A C = 8$ ，则EF 的长为( )

A、1 B、2 C、4 D、3

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，分别以点 $A$ 、 $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于 $E$ 、 $F$ 两点，连接 $E F$ 交 $A C$ 于点 $O$ ，连接 $B O$ ．若 $B C = 2$ ， $A B = 4$ ，则 $O B$ 的长为

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、2.5 D、 $\sqrt{5}$

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6. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得△AB^'C^' ，连接B^'C，则△AB^'C的周长为（）

A、 $16+2 \sqrt{10}$ B、18 C、 $18+2 \sqrt{10}$ D、24

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 26$ ，且 $B D ， C E$ 分别是 $A C ， A B$ 上的高， $F ， G$ 分别是 $B C ， D E$ 的中点，若 $E D = 10$ ，则 $F G$ 的长为（　　）

A、10 B、12 C、13 D、14

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别为 $A B$ ， $A C$ 的中点，点 $F$ 是线段 $D E$ 上的点，且 $∠ A F B = 90 °$ ，若 $A B = 5$ ， $B C = 8$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、1 B、1.5 C、1.6 D、2

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9. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽提出.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG的值为（）

A、 $\frac{24}{5}$ B、 $\frac{60}{13}$ C、 $\frac{13}{2}$ D、 $\frac{12}{5}$

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10. 如图，E 是矩形ABCD 的边AD 上（端点除外)的动点，连接BE，CE，作平行四边形 BECF，连接AF，DF 分别交BC 于点G，H.下列五个结论：
①∠CED=∠CBF；
②S▱_BECF =2S_矩形ABCD；
③若▱BECF 是矩形，则 BC=2AB；
④GH=BG+CH；
⑤若点 E 是AD 的中点，则▱BECF 为菱形.
其中正确的结论是（）

A、①②③④ B、①④⑤ C、①②⑤ D、①③⑤

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二、填空题

11. 已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是.(写出一个即可)

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12. 某数学兴趣小组成员把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠B=∠DFC=90°，∠BAE=30°，∠CDF=45°，四边形ABCD 恰好为矩形，点 E，F 分别在 BC，AE上，则∠AFD 等于度.

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13. 如图，将 $R t △ A B C$ 沿斜边 $A B$ 向右平移得到 $△ D E F$ ， $B C$ 与 $D F$ 交于点H，延长 $A C$ ， $E F$ 交于点G，连结 $G H$ .若 $B D = 2$ ， $G H = 3$ ，则 $A E$ 的长为.

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14. 在矩形 ABCD中， $A B = 2 \sqrt{3} c m, B C = 4 \sqrt{2} c m,$ 现将矩形沿对角线 AC剪开，拼成一个新的平行四边形(不重叠、无缝隙)，若该平行四边形的一条对角线长为4 $\sqrt{5}$ cm，则这个平行四边形较长一边的边长为cm.

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15. 如图， $▱ A B C D$ 中， $∠ B = 80 ° ， B C = 2 A B$ ，点E是 $B C$ 中点，过点A作 $A F ⊥ C D$ ，垂足为F，连接 $A E 、 E F$ ，则 $∠ E F C =$ °．

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三、解答题

16. 阅读材料，并完成相应任务．
【材料】“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的一条重要性质定理．如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ，点 $D$ 是 $A B$ 的中点．求证： $C D = \frac{1}{2} A B$
下面是两位同学两种添加辅助线的方法：
小明：如图2，延长 $C D$ 至点 $E$ ，使 $D E = C D$ ，连接 $A E$ ， $B E$ ；
小华：如图3，取 $B C$ 的中点 $E$ ，连接 $D E$ ；
（1）请你选择其中一位同学的方法完成证明，聪明的你也可以利用图1用其他方法完成证明．
【迁移应用】
（2）如图4， $△ A B C$ 中， $B D$ ， $C E$ 是高， $O$ 为 $B C$ 中点，判定 $O E$ 和 $O D$ 的数量关系并说明理由．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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