北师大版数学九年级上册 1.2 菱形的性质与判定三阶训练

试卷更新日期：2026-07-14 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为对角线 $A C$ 上一点，且 $C D = C E$ ，若 $∠ A B C = 100 °$ ，则 $∠ C D E =$ （）

A、 $75 °$ B、 $70 °$ C、 $65 °$ D、 $60 °$

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2. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ，动点 $M$ 从 $A$ 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿 $A B$ 向 $B$ 点运动；动点 $N$ 从 $C$ 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿 $C D$ 向 $D$ 点运动．若运动 $t$ 秒后，四边形 $A M N D$ 是平行四边形，则 $t$ 的值为（）

A、2 B、 $\frac{2}{3}$ C、4 D、 $\frac{8}{3}$

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3. 如图，在菱形 ABCD 中，按如下步骤作图：①分别以点 C和点D 为圆心，大于 $\frac{1}{2} C D$ 长为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，与CD 交于点E，连结BE.若AD=4，直线 MN恰好经过点A，则BE 的长为( )

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{7}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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4. 如图，在边长为4的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别为 $A D$ 、 $C D$ 边上的动点，连接 $B E$ 、 $B F$ 、 $E F$ ．若 $∠ E B F = 60 °$ ，则以下结论正确的是（）
① $B E = B F$ ；② $△ B E F$ 是等边三角形；③四边形 $E B F D$ 的面积是 $4 \sqrt{3}$ ；④△DEF面积有最大值为 $2 \sqrt{3}$ ．

A、①② B、①②③ C、①②④ D、①②③④

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5. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC 是一条对角线，E 是AC 上一点，过点 E 作EF⊥AB，垂足为 F，连结DE.若AE=BF，则DE：BC的值为（ )

A、2：3 B、 $\sqrt{7} : 3$ C、2.5：3 D、 $\sqrt{6}$ ：3

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6. 如图，菱形ABCD的边长为1，BD=1，E，F分别是边AD，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=1，设△BEF的面积为s，则s的取值范围是( ).

A、 $\frac{1}{4} \leq s \leq 1$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4} \leq s \leq \sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{8} \leq s \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{16} \leq s \leq \frac{\sqrt{3}}{4}$

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7. 如图，在菱形ABCD中， $A D = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ B A D = 6 0^{°}$ ， BD与AC相交于点O，点P是线段AB上的任意点，以PB为对角线作平行四边形POBQ，连结DQ，则DQ的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $\frac{9}{2}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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二、填空题

8. 如图，菱形 $A B C D$ 的边长为 $5$ ，面积为 $20$ ，点 $E$ 在 $A B$ 上移动， $E F ⊥ A D$ ， $G$ 为 $C E$ 中点，则 $F G$ 的最小值为．

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9. 油纸伞在我国已有一千多年的历史，是中国古代劳动人民智慧的结晶．图①是一把油纸伞展开后的剖面图，点 $E$ 、 $F$ 分别为伞骨 $A B$ 、 $A C$ 的中点，伞圈 $D$ 为伞柄 $A P$ 上可移动的点，四边形 $A E D F$ 为菱形．当油纸伞打开到图①的程度时， $∠ B A C = 120 °$ ，当油纸伞缩拢到图②的程度时， $∠ B A C = 60 °$ ，若 $A E = 18 cm$ ，则伞圈 $D$ 下滑的距离 $D D_{1}$ 的长度为 $cm$ ．

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10. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $B C$ ， $C D$ 上， $B E = C F$ ，连接 $A E$ ， $A F$ ， $D E$ ．若菱形面积为 $56 \sqrt{10}$ ， $A B = 14$ ，四边形 $A E C F$ 的面积是 $△ A B E$ 面积的3.5倍，则线段 $E D$ 的长为．

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11. 在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °, A B = 8, E$ 为菱形内部一点，且 $B E = 6$ ，连接 $D E$ ，点F为 $D E$ 中点，连接 $C F$ ，点G是 $C F$ 中点，连接 $B G$ ，则 $B G$ 的最大值为．

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12. 如图，在菱形ABCD中，点P是对角线BD上一动点，PE⊥BC于点E ， PF⊥CD于点F ，记菱形高线的长为h ，则下列结论：
①当P为BD中点时，则PE＝PF；②PE+PF＝h；
③∠EPF+∠A＝180°；④若AB＝2，∠EPF＝60°，连结PC ，则PE+PC有最小值为2；
⑤若h＝2，∠EPF＝60°，连结EF ，则S_△_PEF的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
其中正确的结论有(填序号）．

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三、解答题

13. 如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AO=OC，OB=OD且∠1=∠2．

(1)、求证：四边形ABCD是菱形；

(2)、E为AO上一点，连接BE，若AE=4，AB=6，EB=2 $\sqrt{3}$ ，求AO的长．

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14. 阅读材料：
中国-西班牙联合发行《中欧班列（义乌-马德里）》特种邮票1套2枚，两枚邮票的大小、形状相同（如图1）．邮票在设计时采用了多种数学元素：根据画面内容邮票以平行四边形的形式呈现，代表着列车前进的速度，凸显中欧班列的动态美；中国与西班牙两个列车图形保持对称，并向外延展，凸显中欧班列的和谐美；
在单枚邮票票面上的平行四边形 $A B C D$ 中，邻边 $A B$ 与 $A D$ 的长度比非常接近黄金分割数 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} (\approx 0618)$ ．单枚邮票的规格（平行四边形：长边50毫米，短边32毫米，高28毫米）见图2所示．设图1的 $▱ A B C D$ 中 $B C$ 边上的高为 $A H$ ．
根据以上信息解决问题：

(1)、【相关计算】①单枚邮票的面积为：________ ${mm}^{2}$ ，周长为：________ $mm$ ．
②计算 $B H$ 的长为：________ $mm$ （结果用最简二次根式表示）；

(2)、【特例证明】图1中，求证：四边形 $A B E F$ 是平行四边形．

(3)、【数形结合】现在将图1中的 $▱ A B C D$ 设计成标准的黄金平行四边形，也就是满足相邻两边的比为黄金分割数的平行四边形．如图3所示，即在 $▱ A B C D$ 中，两邻边 $A B$ 、 $A D$ 满足 $\frac{A B}{A D} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，现又在 $B C$ 上取点 $G$ ，且满足 $\frac{C G}{C D} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，过点 $G$ 作 $G H ∥ C D$ 交边 $A D$ 于点 $H$ ．求证：四边形 $A B G H$ 是菱形．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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