浙江省绍兴市柯桥区2025-2026学年下学期七年级期末学业质量诊断卷数学卷

试卷更新日期：2026-07-03 类型：期末考试

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一、选择题(每小题2分，共20分)

1. 若分式 $\frac{1}{x - 3}$ 无意义，则x的值是( )

A、4 B、0 C、3 D、-3

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2. 下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是( )

A、(x+2)(2+x) B、(-a+b) (a-b) C、(m-n)(-m-n) D、(2a+b)(2a-2b)

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3. 下列各因式分解正确的是( )

A、 $- x^{2} + {(- 2)}^{2} = (- x + 2) (x + 2)$ B、 $x^{2} + 2 x - 1 = {(x - 1)}^{2}$ C、 $x (x - 1) = x^{2} - x$ D、 $m^{3} - m = m (m^{2} - 1)$

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4. 将方程 $\frac{1}{x - 1} + 3 = \frac{3 x}{1 - x}$ 两边同乘(x-1)后，可变形为( )

A、1+3=-3x B、1+3(x-1)=-3x C、1+3=3x D、1+3(x-1)=3x

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5. 体重指数(BMI)是国际上衡量人体胖瘦程度及健康状况的常用标准，主要用于筛查是否存在超重、肥胖或体重不足.体重指数计算公式为：体重指数=体重(kg)÷身高²(m).某中学为了解七年级600名男生的体重指数情况，随机抽取了50名男生，测得他们的体重指数并整理如下：
等级
偏瘦
正常
超重
肥胖
体重指数
≤15.4
15.5~22.1
22.2~24.9
≥25.0
人数/名
6
35
7
2
根据以上信息，估计该校七年级600名男生中体重指数等级为正常的是( )

A、35名 B、42名 C、350名 D、420名

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6. 满足二元一次方程 ax+by=0和 cx+dy=4的部分x，y值分别如表1、表2所示，则方程组 ${\begin{matrix} a x + b y = 0 \\ c x + d y = 4 \end{matrix}$ 的解是( )
表1 x -2 -1 0 1
y 4 2 0 -2
表 2 x -2 -1 0 1
y -8 -6 -4 -2

A、 ${\begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} x = 0 \\ y = - 4 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} x = - 2 \\ y = 4 \end{matrix}$

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7. 共享单车是一种低碳环保的出行方式，图①是某品牌共享单车，图②是其示意图，其中AB， CD 都与地面平行， CE平分∠ACD， ∠BAC=58°，则当∠MAC为 ( ) 度时， AM与BC平行.

A、64 B、58 C、61 D、52

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8. 计算 $\underset{20 个}{\underset{︸}{a \times a \times a \cdot a \times a}} \times \underset{20 个}{\underset{︸}{(a + a + a + ⋯ + a)}} =$ ( )

A、 $20 a^{20}$ B、 $20 a^{21}$ C、 $a^{40}$ D、 $20 a^{2}$

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9. 我们把M={1，3，x}叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性，互异性(如x≠1，x≠3)，无序性(即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等).已知集合 $A = \{x^{- 1}, 0, {(x - y)}^{2}\},$ 集合B={y， |x|，-1}，若A=B，则x+y的值是( )

A、4 B、2 C、0 D、-1

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10. 某段待检修的高铁轨道总长为a米.检修组长说：“若再铺设4米新轨，就能刚好分成x段8米和y段10米的标准检测段”.技术员说：“若裁去6米破损段，就能刚好分成(x+2)段6米和(y-1)段7米的合格施工段”，则a可能是 ( )米.

A、50 B、51 C、52 D、53

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二、填空题(每小题3分，共18分)

11. 分解因式 $2 x^{2} - x$ =.

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12. 计算 $(6 a^{2} - 2 a) \div 2 a$ 的结果为.

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13. 若分式 $\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ 的值为0，则x的值为．

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14. 若 $x^{2} - x y = 9 - m, y^{2} - x y = 7 + m,$ 则 ${(x - y)}^{2} =$ ．

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15. 《代微积拾级》中用””来表示相当于 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{z^{2}}{3} + \frac{x y}{27}$ 的代数式.若“”的值为2， “”的值为 $\frac{2}{7}$ ，则“天”与“地”的和为.

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16. 某小组开展平行线性质探究时将一副三角板按图1方式放在两条平行线AB，CD之间，其中点E， F在直线AB 上，点H，N在直线CD上， ∠EGH=∠FMN=90°， ∠GEH=45°，∠MFN=30°. ∠EFN的平分线 FP 交直线 CD于点 P，若∠EHD=50°. 现保持三角板 EGH不动，将三角板 FMN 从如图位置向左平移，若在运动过程中 MN与 EH始终平行，则∠FPN=.

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三、解答题(本大题共有8小题，共62分)

17. 计算下列各题：

(1)、 ${(2026 - π)}^{0} - {(\frac{1}{2})}^{- 3}$

(2)、 ${(2 x - y)}^{2} - (x + y) (x - y)$

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18. 解方程(组) ：

(1)、 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 7 \\ 2 x + 3 y = 3 \end{array}$

(2)、 $\frac{3}{x - 3} = \frac{4}{3 - x} - 1 .$

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19. 下面是小柯同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务：
化简： $(\frac{2 m - 1}{m - 2} - 1) \div \frac{m}{m^{2} - 4}$
解：原式 $= (\frac{2 m - 1}{m - 2} - \frac{m - 2}{m - 2}) \div \frac{m}{(m + 2) (m - 2)}$    ①
$= \frac{2 m - 1 - m - 2}{m - 2} \cdot \frac{(m + 2) (m - 2)}{m}$    ②
$= \frac{m - 3}{m - 2} \cdot \frac{(m + 2) (m - 2)}{m}$    ③
$= \frac{(m - 3) (m + 2)}{m}$    ④

(1)、请指出小柯同学第一次出现错误步骤的序号：     ▲   ；并写出正确的化简过程.

(2)、请在-2，0，1，2中选择一个合适的数代入求值.

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20. 某校计划组织七年级学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A.鲁迅故里、B.安昌古镇、C.柯岩风景区、D.东湖、E.兰亭五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个.根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图.

(1)、本次调查的学生人数为 ▲ 人，并在图1中补全条形统计图；

(2)、请写出图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数是 ▲ ；

(3)、若该校七年级共有800名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数.

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21. 如图，在△ABC中，点E在AC上，点F在BC上，点D， G 在AB上，DF∥AC，且 $∠ C D F + ∠ C E G = 18 0^{°}$ .

(1)、求证： EG||CD；

(2)、若∠EGD=70°， DF 平分∠BDC，求∠AEG的度数.

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22. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．

(1)、观察图1，它所对应的公式为 ▲ (填写对应公式的序号).
$① : {(x + y)}^{2} = {(x - y)}^{2} + 4 x y$
$② : {(x - y)}^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}$
$③ : x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)$

(2)、如图2，边长为a， b的长方形，它的周长为20，面积为8，求(2a+1)(2b+1)的值.

(3)、如图3，将A，B两张纸片放置于一个大正方形的纸片中，若已知A，B两张纸片的边长差为2，A，B两张纸片的面积和为20，求阴影部分的面积.

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23. 绍兴“朝花夕拾”文创店主打鲁迅语录盲盒、古风手账本、故乡主题钥匙扣，六推出促销活动，借文创让青少年了解鲁迅精神．

素材1

素材2

文创盲盒进价比手账本进价贵15元，且用210元购买文创盲盒的数量与用120元购买古风手账本的数量相等．

素材3

为了刺激消费，商店实行以下优惠：

盲盒	买5个首盒送2个钥匙扣
手账本	买4 本手账送1个钥匙扣

问题解决

任务1

求文创盲盒和古风手账本的进价．

任务2

小桥班按优惠方案购买盲盒与手账本，获赠若干钥匙扣，三种物品共39件，总花费 1200元，求盲盒数量．

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24. 新定义：如果两个实数m，n使得关于x的分式方程 $\frac{m}{x} + 1 = n$ 的解是 $x = \frac{1}{m + n}$ 成立，那么我们就把实数m，n组成的数对[m，n]称为关于x的分式方程 $\frac{m}{x} + 1 = n$ 的一个“友好数对”.
例如：m=3，n=-5使得关于x的分式方程 $\frac{3}{x} + 1 = - 5$ 的解是 $x = \frac{1}{3 + (- 5)} = - \frac{1}{2}$ 成立，所以数对[3，-5]就是关于x的分式方程 $\frac{m}{x} + 1 = n$ 的一个“友好数对”.

(1)、判断下列数对是否为关于x的分式方程 $\frac{m}{x} + 1 = n$ 的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”.若不是，打“×”.
①[-1，2] ； ②[2，-5] ； ③[3，0] ；

(2)、若数对 $[k^{2} - 2, - k^{2}]$ 是关于x的分式方程 $\frac{m}{x} + 1 = n$ 的“友好数对”，求k的值；

(3)、若数对[p-q，q] (p≠-l且p≠0， q≠1)是关于x的分式方程 $\frac{m}{x} + 1 = n$ 的“友好数对”，且关于x的方程 $q x - p + 1 = \frac{- 2 p}{p + 1} x$ 有整数解，求整数p的值.

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等级	偏瘦	正常	超重	肥胖
体重指数	≤15.4	15.5~22.1	22.2~24.9	≥25.0
人数/名	6	35	7	2

表1	x	-2	-1	0	1
	y	4	2	0	-2
表 2	x	-2	-1	0	1
	y	-8	-6	-4	-2