湖南常德市石门县第一中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷

试卷更新日期：2026-06-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $a$ 、 $b \in R$ ，集合 $A = \{1, \frac{a}{b}\}$ ， $B = \{a, b\}$ ，若 $A \cap B = \{2\}$ ，则 $b =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $2$ 或 $1$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m + 1) x^{- 2 m + 1}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减，则实数m的值为（）

A、0或1 B、 $- 1$ 或1 C、1 D、0

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3. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 上一点 $A (2, 2 \sqrt{2})$ ，则焦点到准线的距离为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、3

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4. 已知公差为 $d$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{4} = 10, S_{6}$ 是 $\{S_{n}\}$ 中的唯一最大项，则 $d$ 的取值范围为（）

A、 $(- 5, - \frac{10}{3})$ B、 $[- 5, - \frac{10}{3}]$ C、 $(- \frac{10}{3}, - \frac{5}{2})$ D、 $[- \frac{10}{3}, - \frac{5}{2}]$

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5. 一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（）

A、 $18 \sqrt{5} π$ B、 $19 \sqrt{7} π$ C、 $19 \sqrt{5} π$ D、 $18 \sqrt{3} π$

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6. 若关于 $x$ 的不等式 $e^{x} + x + \ln \frac{1}{x} \geq m x + \ln m$ 恒成立，则实数 $m$ 的最大值为（）

A、2 B、 $e$ C、3 D、 $e^{2}$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，若点 $O$ 为 $△ A B C$ 的垂心，且满足 $\vec{A O} = \frac{1}{4} \vec{A B} + x \vec{A C}$ ，则 $cos ∠ B A C$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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8. 一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{7}{16}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{9}{16}$

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二、多选题

9. 为研究某城市二手房销售价格与建筑面积的关系，甲房产研究机构随机调查了80套该城市二手房的建筑面积 $x$ （单位：平方米）和销售价格y（单位：万元）的数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 80)$ ，已知其中有一套房源的数据为点 $P (100, 220)$ ，且 $∑_{i = 1}^{80} y_{i} = 17280$ ，根据数据求得的线性经验回归方程为 $\hat{y} = 1.8 x + 45$ ，该线性回归方程对应的相关系数为r，对应的决定系数 $R_{1}^{2} = 0.956$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $r < 0$ B、数据点P对应的残差的绝对值为5 C、该样本中二手房的平均建筑面积为95平方米 D、乙房产研究机构也对这组数据进行处理，得到非线性经验回归方程 $\hat{y} = 2.5 \ln (x + 10) + 30$ ，其决定系数为 $R_{2}^{2} = 0.872$ ，则甲机构选取的模型拟合效果更好

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10. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (0) = - 1$ ，且 $f^{'} (x) - f (x) > 3$ ，则使不等式 $f (x) \geq 2 e^{x} - 3$ 成立的 $x$ 的值可能为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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11. 双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素．曲线C： ${(x^{2} + y^{2})}^{2} ＝$ $4 (x^{2} - y^{2})$ 是双纽线，则下列结论正确的是（）

A、曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） B、曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2 C、曲线C关于直线y＝x对称的曲线方程为 ${(x^{2} + y^{2})}^{2} ＝ 4 (y^{2} - x^{2})$ D、若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$

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三、填空题

12. 如图，矩形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中 $O^{'} A^{'} = 4$ ， $O^{'} C^{'} = 1$ ，则原图形周长是．

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13. 已知向量 $\vec{a} = (1, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 5, 3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (k \vec{a} + \vec{b})$ ，则函数 $f (x) = k x - \ln x$ 的最小值为.

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14. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $b \cos C$ ， $a c o s A$ ， $c \cos B$ 成等差数列，且 $a \sin C = \sqrt{3} (1 - a \cos C)$ ，若 $O$ 是 $△ A B C$ 外接圆的圆心，则 $S_{△ A O C} - S_{△ B O C}$ 的取值范围为.

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四、解答题

15. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = (1 + \frac{1}{n}) a_{n} + \frac{n + 1}{3}$ ．

(1)、证明： $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 是等差数列，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设m为整数，且对任意正整数 $n$ ， $m \geq \frac{4}{a_{1}} + \frac{4}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{4}{a_{n}}$ ，求m的最小值．

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16. 某外卖平台订单集中在早高峰、午高峰、晚高峰三个时段，三个时段订单占比依次为 30%、40%、30%.统计发现，不同时段受接单压力影响，出现送餐延迟的概率不同，早高峰订单，发生延迟的概率为2%；午高峰订单，发生延迟的概率为3%；晚高峰订单，发生延迟的概率为4%.现随机抽取一笔外卖订单.

(1)、该订单来自午高峰时段且发生延迟的概率；

(2)、该订单发生延迟的概率；

(3)、若已知订单出现延迟，求它来自晚高峰时段的概率.

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17. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $O_{1}, O$ 分别为上下底面的中心，圆锥 $O O_{1}$ 的顶点为 $O$ ，圆锥底面为正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的内切圆， $M$ 为 $A D$ 中点，如图所示．

(1)、设点Q在圆锥 $O O_{1}$ 的底面圆周上运动．
（ⅰ）求直线OQ和平面ABCD所成角的正弦值；
（ⅱ）若 $C Q = \sqrt{7}$ ，证明： $C Q ∥$ 平面 $A_{1} O B$ ．

(2)、设平面 $A_{1} B C D_{1}$ 和圆锥 $O O_{1}$ 侧面的公共点构成集合 $Ω$ ，若 $P \in Ω$ ，求PM的最小值．

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18. 已知 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 既是双曲线 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的两条渐近线，也是双曲线 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的渐近线，且双曲线 $C_{2}$ 的焦距是双曲线 $C_{1}$ 的焦距的 $\sqrt{2}$ 倍.

(1)、求双曲线 $C_{2}$ 的方程；

(2)、任作一条平行于 $l_{1}$ 的直线 $l$ 依次与直线 $l_{2}$ 以及双曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 交于点 $L$ ， $M$ ， $N$ ，求 $\frac{M N}{N L}$ 的值；

(3)、如图， $P$ 为双曲线 $C_{2}$ 上任意一点，过点 $P$ 分别作 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的平行线交 $C_{1}$ 于 $A$ ， $B$ 两点，证明： $△ P A B$ 的面积为定值，并求出该定值.

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19. 已知函数 $f (x) = x e^{x} + a sin x,$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 内有零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若存在 $x_{0}, x_{1} \in (0, π)$ ，使得 $f (x_{0}) = f^{'} (x_{1}) = 0$ ，求证： $x_{0} < 2 x_{1}$ ．

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