广东广州市象贤中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2026-06-13 类型：期中考试

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一、单选题：本共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}, B = \{x |{log}_{3} x < 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{1, 2\}$

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2. 已知复数z满足 $i \cdot z + 2 = 2 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、8

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3. 记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{10} = 0$ ， $S_{6} = 2 S_{3} - 12$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、6 B、8 C、10 D、12

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4. 已知 $α \in (0 ， π)$ ，且 $3 cos 2 α - 8 cos α = 5$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{9}$

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5. 某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，
下列说法中正确的是（）

A、 $a = 0.05$ B、评分的众数估值为70 C、评分的第25百分位数估值为67.5 D、评分的平均数估值为76

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6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“--”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，记事件 $A =$ “取出的重卦中至少有2个阴爻”，事件 $B =$ “取出的重卦中恰有3个阳爻”.则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{5}{16}$ B、 $\frac{11}{32}$ C、 $\frac{21}{32}$ D、 $\frac{20}{57}$

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7. 数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选 $3$ 门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）

A、 $60$ 种 B、 $78$ 种 C、 $84$ 种 D、 $144$ 种

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8. 已知一正三棱柱的底面边长为6，其内部有一球与其各表面都相切，则该正三棱柱的外接球的表面积为（）

A、 $20 \sqrt{15} π$ B、 $64 \sqrt{6} π$ C、 $96 π$ D、 $60 π$

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二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9. 已知函数 $f (x) = \frac{4}{e^{x} - 1} + 2$ ，则（　　）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 为 $R$ 上的减函数 D、 $f (x)$ 无最值

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10. 函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $φ = \frac{π}{6}$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12}, 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $(π, \frac{5 π}{4})$ 上单调递增

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11. 泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点 $F (2, 0)$ ，直线 $l : x = \frac{9}{2}$ ，动点 $P$ 到点 $F$ 的距离是点 $P$ 到直线 $l$ 的距离的 $\frac{2}{3}$ ．若某直线上存在这样的点 $P$ ，则称该直线为“最远距离直线”．则下列结论中正确的是（）

A、点 $P$ 的轨迹方程是 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ B、直线 $l_{1} : \frac{x}{9} + \frac{y}{5} = 1$ 是“最远距离直线” C、点 $P$ 的轨迹与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 没有交点 D、平面上有一点 $A (- 1, 1)$ ，则 $2 |P A| + 3 |P F|$ 的最小值为 $\frac{33}{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 直线 $l : x - y - 1 = 0$ 交圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 于A，B两点，则 $A B$ 的弦长为.

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13. $(1 - \frac{y}{x}) {(x + y)}^{8}$ 的展开式中 $x^{2} y^{6}$ 的系数为 (用数字作答).

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14. 已知直线 $y = k x$ 是曲线 $f (x) = e^{x + 1}$ 和 $g (x) = a + \ln x$ 的公切线，则实数 $a =$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，且 $a_{3} = a_{1} a_{2}$ ， $a_{1} = a_{2} + 2 a_{3}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{2}{a_{2}} + \frac{3}{a_{3}} + \dots + \frac{n}{a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式.

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16. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $cos C (a cos B + b cos A) = \frac{\sqrt{3}}{2} c$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、点 $D$ 在边 $B C$ 上，且 $C D = 2 ， B D = A D = 1$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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17. 如图， $△ A B C$ 内接于圆 $O, A B$ 为圆 $O$ 的直径， $C D ⊥$ 平面 $A B C, E$ 为线段 $A D$ 中点.

(1)、求证：平面 $B C E ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、若 $A B = \sqrt{5}, B C = 1, C D = 2 \sqrt{3}$ ，求平面 $B C E$ 与平面 $B D E$ 所成锐二面角的余弦值.

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18. 已知函数 $f (x) = a x + \ln x (a \in R)$ .

(1)、若 $x = 1$ 是函数的极值点，求a的取值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、设 $g (x) = x^{2} - 2 x + 2$ ，若对任意 $x_{1} \in (0, + \infty)$ ，均存在 $x_{2} \in [0, 1]$ ，使得 $f (x_{1}) < g (x_{2})$ ，求a的取值范围.

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19. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} (- \sqrt{3}, 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{3}, 0)$ ，且椭圆C上的点M满足 $|M F_{1}| = \frac{2}{7}$ ， $∠ M F_{1} F_{2} = 150 °$ ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点 $P$ 是椭圆 $C$ 的上顶点，点 $Q, R$ 在椭圆C上，若直线 $P Q$ ， $P R$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，满足 $k_{1} \cdot k_{2} = \frac{3}{4}$ ，求 $△ P R Q$ 面积的最大值．

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