广西百色高级中学2025-2026学年高一下学期期中自主检测练习数学试卷

试卷更新日期：2026-06-09 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知一个圆锥的底面半径为3，母线长 $l = 5$ ，则该圆锥的表面积是（）

A、 $24 π$ B、 $33 π$ C、 $37 π$ D、 $48 π$

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2. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ C、 $- \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$

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3. 如图所示，梯形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是平面图形 $A B C D$ 用斜二测画法得到的直观图， $A^{'} D^{'} = 2 B^{'} C^{'} = 2, A^{'} B^{'} = 1$ ，则平面图形 $A B C D$ 中对角线 $A C$ 的长度为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、5

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4. 已知复数 $z = (m^{2} - m - 6) + (m - 3) i$ 为纯虚数，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 2$ 或3 B、 $- 2$ C、3 D、6

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5. 《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭 $A B C D - E F H G$ ，其上、下底面的周长分别为4，8，方亭的高为3，则方亭的体积为（）

A、10 B、9 C、8 D、7

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6. 已知 $|\vec{a}| = 6 \sqrt{3}, |\vec{b}| = 1, \vec{a} \cdot \vec{b} = - 9$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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7. 如图， $P$ 为平行四边形 $A B C D$ 所在平面外一点， $E$ 为 $A D$ 上一点，且 $\frac{A E}{E D} = \frac{1}{3}$ ， $F$ 为 $P C$ 上一点，当 $P A //$ 平面 $E B F$ 时， $\frac{P F}{F C} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 已知 $△ A B C$ 为边长为 $3$ 的等边三角形，设点 $M$ 为 $A B$ 边的中点，点 $P$ 在边 $B C$ 上（包括端点），则 $\vec{M P} \cdot \vec{C P}$ 的最小值等于（）

A、 $- \frac{81}{64}$ B、 $- \frac{55}{64}$ C、 $\frac{55}{64}$ D、 $\frac{81}{64}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知复数 $z = \frac{2}{1 - i}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 的虚部是 $- 1$ B、 $z$ 是方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 的一个根 C、 $|z| = \sqrt{2}$ D、 $z$ 表示的点在第一象限

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10. 已知 $P$ 为空间中一点， $m$ ， $n$ ， $l$ 为互不相同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 为互不相同的平面，则下列命题中正确的是（）

A、 $l // m$ ， $m // α \Rightarrow l // α$ 或 $l \subset α$ B、若 $m // n$ ， $m ⊥ α$ ，则 $n ⊥ α$ C、 $α // γ$ ， $β // γ \Rightarrow α // β$ D、 $P \in α$ ， $P \in β \Rightarrow α \cap β = P$

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11. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，且 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = \frac{9}{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $B = \frac{π}{3}$ B、 $a c = 3 \sqrt{3}$ C、当 $a = 3$ 时， $b = \sqrt{3}$ D、 $b$ 的取值可能是 $2$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 某个班共有54名学生，其中男女生人数比为 $5 : 4$ ，现采用等比例分层随机抽样的方法从全班学生中抽取18人参加合唱比赛，则应抽取男同学人.

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13. 已知一个圆柱的底面半径为3，高为8，则该圆柱的外接球的表面积等于.

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14. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，点 $F$ 为棱 $B B_{1}$ 的中点，点 $G$ 为线段 $A_{1} D$ 上的一个动点，设直线 $F G$ 与平面 $A D D_{1} A_{1}$ 所成角为 $θ$ ，则 $\sin θ$ 的最大值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知向量 $\vec{a} = (2, 3), \vec{b} = (- 4, m)$ .

(1)、若 $m = 1$ ，求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $m$ ；

(3)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) / / (2 \vec{b})$ ，求 $m$ .

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16. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2$ ， $D$ 为棱 $B C$ 的中点.

(1)、证明： $A_{1} B //$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(2)、求异面直线 $A_{1} B$ 与 $A D$ 所成角的余弦值；

(3)、求三棱锥 $C - A_{1} A B$ 的体积.

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17. 如图，为了测量两山顶 $M$ ， $N$ 间的距离，飞机沿水平方向在 $A$ ， $B$ 两个位置进行测量， $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 在同一平面内且与水平面垂直.在 $A$ 点测得 $M$ ， $N$ 的俯角分别为 $α_{1} = 75 °$ ， $β_{1} = 30 °$ ，在 $B$ 点测得 $M$ ， $N$ 的俯角分别为 $α_{2} = 45 °$ ， $β_{2} = 60 °$ ，同时测得 $A B = \sqrt{6} km$ .

(1)、求 $A M$ 的长度；

(2)、求 $M$ ， $N$ 之间的距离.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = 1$ ， $A D = 2$ ， $C D = \sqrt{2}$ ， $P A = 2$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求证：平面 $P C D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(3)、求二面角 $P - C D - A$ 所成角的余弦值.

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $(2 a - c) sin A + (2 c - a) sin C = 2 b sin B$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a + c = 5$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $b$ ；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $b = \sqrt{3}$ ，求 $a - c$ 的取值范围.

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