山东省2026年数学中考真题试卷

试卷更新日期：2026-06-23 类型：中考真卷

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一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列实数中，比 $1$ 大的数是（）

A、 $- 2$ B、 $0$ C、 $0.5$ D、 $\sqrt{2}$

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2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 山东是海洋大省，毗邻海域面积约为 $16$ 万平方公里．将 $160000$ 用科学记数法表示为（）

A、 $0.16 \times 1 0^{6}$ B、 $1.6 \times 1 0^{5}$ C、 $1.6 \times 1 0^{6}$ D、 $16 \times 1 0^{4}$

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4. 如图所示几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $m^{3} - m^{2} = m$ B、 $(m^{2})^{3} = m^{6}$ C、 $m^{9} \div m^{3} = m^{3}$ D、 $2 m \cdot 3 m = 6 m$

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6. 如图，直线 $a ∥ b$ ，直线 $c$ 分别交 $a$ ， $b$ 于点 $A$ ， $B .$ 以点 $A$ 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交 $a$ ， $c$ 于点 $M$ ， $N$ ；再分别以点 $M$ ， $N$ 为圆心，以大于 $M N$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ M A N$ 的内部交于点 $C$ ；作射线 $A C$ 交 $b$ 于点 $D .$ 若 $∠ A B D = 54^{\circ}$ ，则 $∠ A D B$ 的度数是（）

A、 $36^{\circ}$ B、 $54^{\circ}$ C、 $63^{\circ}$ D、 $72^{\circ}$

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7. 计算 $\frac{x^{2}}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}$ 的结果是（）

A、 $x - 1$ B、 $x + 1$ C、 $\frac{1}{x - 1}$ D、 $\frac{1}{x + 1}$

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8. 甲、乙两名同学分别记录了自己连续 $6$ 天的 $1$ 分钟跳绳成绩，整理、绘制成下图．
根据图中信息，下列结论正确的是（）

A、甲的跳绳成绩总是高于乙 B、甲的跳绳成绩的众数为 $184$ C、甲的跳绳成绩的中位数小于乙 D、甲的跳绳成绩的方差小于乙

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9. 在 $2026$ 年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了 $5 k m$ 健步走项目．两人 $8 : 00$ 从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了 $15 m i n$ 后仍按原速行进，小杰全程无停留行进．他们行走的路程 $y (k m)$ 与时间 $x (m i n)$ 之间的关系如图所示．小英追上小杰的时刻是（）

A、 $8 : 25$ B、 $8 : 33$ C、 $9 : 00$ D、 $9 : 17$

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10. 如图，点 $P$ 是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的顶点．下列结论正确的是（）

A、 $2 a + b = 0$ B、 $- \frac{3}{4} < a < - \frac{1}{2}$ C、对任意实数 $t$ ， $a t^{2} + b t < 4 a + 2 b$ 总成立 D、若点 $A (1 - m, y_{1})$ ， $B (1 + m, y_{2})$ 在抛物线上，则 $y_{1} < y_{2}$

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二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。

11. 计算： $5 a b + 6 a b =$ ．

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12. 如图，圆形扇面中间的图案是正多边形，该正多边形的内角和等于．

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13. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(x - 2) (x - m) = 0$ 的一个根是 $10$ ，则另一个根是．

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14. 如图，一组反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x}$ ， $y = \frac{k_{2}}{x}$ ， $y = \frac{k_{3}}{x}$ ， $y = \frac{k_{n}}{x}$ ，其中 $x > 0$ ， $k_{1} = 1$ ， $k_{n} > k_{n - 1}$ ， $n$ 为大于 $1$ 的整数．这组反比例函数的图象与正比例函数 $y = x$ 的图象相交，交点依次记为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $\dots$ ， $A_{n} .$ 若 $A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = \dots = A_{n - 1} A_{n} = \sqrt{2}$ ，则 $k_{6} =$ ．

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15. 如图，在平行四边形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 4 c m$ ， $A D = 5 c m$ ，点 $E$ 是边 $A D$ 的中点，点 $F$ 在边 $C D$ 上，连接 $E F .$ 将纸片沿 $E F$ 折叠，点 $D$ 落在纸片上的点 $G$ 处，连接 $A G$ ， $C G .$ 若 $A G = 3 c m$ ， $G E ∥ A B$ ，则 $▵ C F G$ 的面积为 $c m^{2}$ ．

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三、计算题：本大题共1小题，共9分。

16. 按要求完成下列各题：

(1)、计算： $2^{2} - \sqrt{16} - (- 3)$ ；

(2)、解不等式组： $\{\begin{array}{l} x + 1 < 2 x - 1 \\ \frac{x - 1}{2} < \frac{x}{3} \end{array}$ ．

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四、解答题：本题共7小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 如图，在 $▵ A B C$ 中， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ，点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是边 $A C$ 、 $B C$ 、 $A B$ 的中点．

(1)、求证： $△ E D F ≌ △ E C F$ ；

(2)、判断四边形 $A E F G$ 的形状，并说明理由．

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18. 在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下：
请根据他们的对话解答下列问题：

(1)、求描金琉璃瓶和内画瓶的单价；

(2)、若购买描金琉璃瓶和内画瓶共 $20$ 个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的 $2$ 倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？

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19. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ ， $D$ 是 $⊙ O$ 上的两点， $\hat{A C} = \hat{B D}$ ，连接 $A C$ ， $A D$ ， $C D$ ，过点 $A$ 作 $A H ⊥ C D$ 交 $D C$ 的延长线于点 $H$ ．

(1)、求证： $A H$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A H = 2$ ， $s i n ∠ C A H = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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20. 某校计划在九年级开展“数学探究”项目式学习活动．为助力活动顺利开展，兴趣小组随机抽取了部分九年级学生进行如下调查：

【调查内容】

关于项目式学习活动的调查问卷问题 $1 .$ 你最想参加以下哪一个主题的项目式学习活动？ $($ 单选 $) ①$ 绘制校园平面地图 $②$ 读书长廊地面铺设设计 $③$ 测量校园内旗杆高度 $④$ 制定旅游最优路线 $⑤$ 体育运动与心率的关系探究问题 $2 .$ 假如在探究过程中遇到了困难，你计划采用什么方式解决？ $($ 可多选 $) A .$ 查阅文献 $B .$ 上网查询 $C .$ 同伴合作 $D .$ 寻求指导 $E .$ 专业咨询问题问题 $3 .$ 你还想探究哪些领域的数学问题？

【数据处理】

信息 $1$ ：将问题 $1$ 的调查数据进行收集、整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．

信息 $2$ ：将问题 $2$ 的调查数据进行收集、整理，绘制了如下统计表．

解决困难的方式	A	B	C	D	E
选择人数	32	41	33	35	28

信息 $3$ ：问题 $3$ 调查结果显示，学生还想探究的数学问题主要涉及三个领域：科技、交通、经济．

【分析应用】

根据调查信息，解答下列问题：

(1)、求参与调查的学生总数，并补全条形统计图；

(2)、若有

500

名学生参加项目式学习活动，估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数；

(3)、甲、乙两名学生计划从“科技”“交通”“经济”三个领域中随机选择一个领域进行探究，请用列表或画树状图的方法求两人恰好选择同一领域的概率．

(4)、【决策建议】假如你是兴趣小组成员，请向学校提供一条关于开展本次项目式学习活动的合理建议．

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21. 我国古代学者戴震在 $《$ 算学初稿 $》$ 中记载了一种可测量仰 $($ 俯 $)$ 角及计算其正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动．
【模型制作】
综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图 $1 .$ 四边形 $A B C D$ 为正方形， $A G$ 为悬挂重物的铅垂线， $A B$ 为左矩， $A D$ 为右矩，标有均匀刻度的 $B C$ 和 $D C$ 组成矩尺盘，以点 $A$ 为圆心， $A B$ 为半径的标有均匀刻度的弧组成角度盘．
【操作发现】
使用矩盘测量时，需要将左矩 $A B$ 或右矩 $A D$ 与视线 $P F$ 重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、矩尺盘的交点的刻度为读数．

(1)、如图 $2$ ，左矩 $A B$ 与视线 $P F$ 重合，角度盘读数为 $31^{\circ} (∠ D A E = 31^{\circ})$ ，矩尺盘读数为 $6 (D E = 6)$ ，可知仰角 $∠ P = ∠ D A E = 31^{\circ}$ ， $t a n ∠ P = t a n ∠ D A E = \frac{D E}{A D} = \frac{6}{10} = 0.6 .$ 如图 $3$ ，右矩 $A D$ 与视线 $P F$ 重合，角度盘读数为 $29^{\circ} (∠ D A E = 29^{\circ})$ ，矩尺盘读数为 $5.5 (D E = 5.5)$ ，则仰角 $∠ P =$ ， $t a n ∠ P \approx$ （结果精确到 $0.1) .$

(2)、【应用探究】综合实践小组测量某景区城门楼 $($ 如图 $4)$ 的顶端 $E$ 到地面的距离 $(E B$ 的长度 $) .$ 如图 $5$ ，某同学站在城门楼一侧 $A$ 处，用矩盘的左矩与视线 $M E$ 重合，此时矩尺盘读数为 $5$ ；沿直线 $A B$ 前进，穿过城门 $B D$ 到达城门楼另一侧 $C$ 处，在 $C$ 处将矩盘右矩与视线 $N E$ 重合，角度盘读数为 $45 ° .$ 已知 $A C = 20 m$ ，该同学眼睛到地面的高度是 $1.6 m$ ，求城门楼的顶端 $E$ 到地面的距离 $($ 结果精确到 $0.1 m) .$

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22. “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景 $($ 如图 $1) .$ 甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分 $($ 以下“花枪”均指花枪的中点 $)$ ．

(1)、如图 $2$ ，甲站在地面的 $O$ 点处，从距离地面 $\frac{1}{2} m$ 高的 $A$ 点踢出花枪， $A$ 点与 $O$ 点的水平距离 $O B$ 是 $\frac{1}{2} m$ ，花枪飞行到与 $O$ 点水平距离 $3 m$ 的 $C$ 处达到最高，高度为 $3 m$ ．
$①$ 设花枪离地面的高度为 $y (m)$ ，到 $O$ 点的水平距离为 $x (m) .$ 请建立平面直角坐标系，并求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；
$②$ 花枪下落过程中，乙在与 $O$ 点水平距离 $d m$ 处接花枪，能接到的高度最大为 $\frac{21}{10} m$ ，最小为 $\frac{1}{2} m$ ，求 $d$ 的取值范围．

(2)、乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度 $h (m)$ 与时间 $t (s)$ 之间的关系式是 $h = - 5 t^{2} + 7 t + \frac{8}{5} (t > 0)$ ，丙在距花枪落地点 $5 m$ 处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度．

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23. 在 $▵ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ．

(1)、【观察与发现】如图 $1$ ，将线段 $A C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到线段 $A D$ ，点 $D$ 与点 $C$ 是对应点．点 $E$ ， $F$ 分别在边 $A B$ ， $A C$ 上， $A E = C F$ ，连接 $D E$ ， $D F .$ 求证： $D E = D F$ ．

(2)、【思考与探究】如图 $2$ ，过点 $A$ 作 $A H ⊥ A C$ 交 $B C$ 于点 $H .$ 点 $E$ ， $F$ 分别在边 $A B$ ， $A C$ 上， $C F = 2 A E$ ，连接 $E F$ ， $H E$ ， $H F .$ 猜想线段 $E F$ 与 $H E$ 的数量关系，并说明理由．

(3)、【拓展与延伸】如图 $3$ ，在 $(2)$ 的条件下，延长 $F E$ 至点 $G$ ，使 $E G = F E$ ，连接 $G A$ ， $G H .$ 若 $A B = 6$ ， $A G = 2 \sqrt{7}$ ，求线段 $A E$ 的长度．

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