广东深圳市南方科技大学附属中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2026-05-25 类型：期中考试

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一、选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是正确的.）

1. 已知函数 $f (x) = 3 \ln x + 2$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、3 B、5 C、8 D、10

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2. 已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{3} + a_{9} = 4 a_{5}$ ， $a_{2} = - 4$ ，则首项 $a_{1}$ 等于（）

A、0 B、 $- 2$ C、 $- 6$ D、 $- 8$

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3. 若 ${(x - \frac{\sqrt{a}}{x^{2}})}^{6}$ 展开式中的常数项为90，则常数 $a$ 的值为（）

A、4 B、2 C、8 D、6

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4. 某化学学习小组有10名同学，其中有4名女生，6名男生，现从中随机抽取3名同学完成一个实验，设抽到的女生人数为X，则 $P (X = 2) =$ （）

A、 $\frac{3}{20}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（）

A、600 B、264 C、207 D、114

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6. 下列说法中错误的有几个（）
①数据1，2，3，5，7，8，9的60%分位数是6；
②根据 $2 \times 2$ 列联表中的数据计算得出 $χ^{2} \geq 6.635$ ，而 $P (χ^{2} \geq 6.635) \approx 0.01$ ，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于0.01；
③回归分析时，可用决定系数 $R^{2}$ 刻画模型的拟合效果， $R^{2}$ 越大，则拟合效果越好；
④若随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $ξ \sim N (1, σ^{2})$ ，若 $P (ξ < a) \geq P (ξ > 1 - 2 a)$ ，则实数 $a \leq - 1$ .

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 设 $A$ ， $B$ 是一个随机试验中的两个事件，若 $P (\bar{B}) = \frac{4}{9}$ ， $P (\bar{A} B) = \frac{1}{3}$ ，则 $P (A |B) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 方程 $x e^{x} = a (ln x + x)$ 有两实数根 $x_{1} 、 x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(e, + \infty)$ C、 $(0, e)$ D、 $(- \infty, e)$

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二、多项选择题（本大题包括3小题，每小题6分，共18分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9. 定义在 $[- 1, 3]$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上单调递减 B、函数 $f (x)$ 的单调递减区间为 $[0, 3]$ C、函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取得极大值 D、函数 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极大值

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10. 已知3张奖券中只有2张有奖奖券，甲､乙2名同学依次随机抽取1张奖券.记事件 $A$ 为“甲中奖”，事件 $B$ 为“乙中奖”，则下列说法正确的有（）

A、若抽取后放回，则 $P (A) = P (B)$ B、若抽取后不放回，则 $P (A) = P (B)$ C、若抽取后放回，则 $P (B) = P (B ∣ A)$ D、若抽取后不放回，则 $P (B) = P (B ∣ A)$

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11. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $2 a_{n + 2} + a_{n + 1} - a_{n} = 0$ ， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{2} = \frac{1}{4}$ ， $S_{n}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则（）

A、 $\{a_{n + 1} + a_{n}\}$ 是等比数列 B、 $\{a_{n} - \frac{1}{2^{n}}\}$ 是等比数列 C、 $\{S_{n}\}$ 是等比数列 D、 $\{\sin a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和小于1

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三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）

12. 若根据样本数据 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{15}, y_{15})$ 得到的回归直线方程为 $\hat{y} = 3 x + \hat{a}$ ，且 $\sum_{i = 1}^{15} x_{i} = 60$ ， $\sum_{i = 1}^{15} y_{i} = 150$ ，则 $\hat{a} =$ ．

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13. 甲､乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分．设每局甲胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为．（结果用数字作答）

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14. 已知直线 $y = x$ 是函数 $f (x) = (x + a) e^{x}$ 和函数 $g (x) = ln x + b$ 图象的公切线，则 $2^{a} + 3 b =$ .

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四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.）

15. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 b \cos C = 2 a - c$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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16. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = 2$ ， $A B ⊥ A C$ ， $D$ ， $E$ 分别为 $A B$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $A_{1} D / /$ 平面 $E B C$ ；

(2)、若三棱锥 $A - E B C$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ ，求平面 $E B C$ 与平面 $A_{1} A B B_{1}$ 夹角的余弦值.

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17. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是 $\frac{2}{3}$ ，乙答对每道题目的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响，

(1)、求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率；

(2)、设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望.

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18. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} (n \geq 2)$ ， $a_{2} = 2$ .

(1)、求 $a_{1}$ ；

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、设数列 $\{\frac{1}{n \log_{2} a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 2$ .

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} - x + a ln x, a \in R$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程.

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(3, + \infty)$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围.

(3)、若 $a > 0$ ，且 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，证明： $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < a - 2$ .

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