广东东莞市东莞中学松山湖学校2025-2026学年度第二学期期中考试高二年级数学试题

试卷更新日期：2026-05-03 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求

1. 在 ${(a + b)}^{n}$ 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则 $n =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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2. 如图，直线l和圆C，当l从l₀开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是

A、 B、 C、 D、

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3. 函数 $f (x) = - x^{2} + a x + 1 - \ln x$ ，若 $f (x)$ 在 $(0, \frac{1}{2})$ 上单调递减，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 3]$ B、 $(- \infty, 3)$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $(- \infty, 2)$

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4. 已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有

A、72种 B、96种 C、144种 D、288种

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5. 某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的， $A$ 学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为 $X$ 分， $B$ 学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为 $Y$ 分，则 $D (Y) - D (X)$ 的值为

A、 $\frac{125}{12}$ B、 $\frac{35}{12}$ C、 $\frac{27}{4}$ D、 $\frac{23}{4}$

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6. 若点 $P$ 是曲线 $y = \ln x - x^{2}$ 上任意一点，则点 $P$ 到直线 $l : x + y - 4 = 0$ 距离的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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7. 设 $\bar{A}$ ， $\bar{B}$ 分别为随机事件A，B的对立事件，已知 $0 < P (A) < 1, 0 < P (B) < 1$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $P (B ∣ A) + P (\bar{B} ∣ A) = 1$ B、 $P (B ∣ A) + P (B ∣ \bar{A}) = 0$ C、若A，B是相互独立事件，则 $P (A ∣ B) = P (A)$ D、若A，B是互斥事件，则 $P (B ∣ A) = 0$

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8. 设函数 $f (x) = x + e^{x}$ ， $g (x) = x + l n x$ ，若存在 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为

A、 $\frac{1}{e}$ B、1 C、2 D、e

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项，则下列说法正确的是（）

A、四名同学的报名情况共有 $3^{4}$ 种 B、每个项目都有人报名的情况共有36种 C、四名同学最终只报名了两个项目的情况共有42种 D、恰有两名同学所报项目相同且只有甲同学一人报名“关怀老人”的情况共有12种

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10. 已知函数 $f (x) = ln \frac{4 - x}{x} + a x$ 在 $x = 3$ 处取得极大值， $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则（）

A、 $a = \frac{4}{3}$ B、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) > f (x^{2})$ C、 $f^{'} (2 + x) = f^{'} (2 - x)$ D、当 $1 \leq x_{1} \leq x_{2} \leq 3$ 且 $x_{1} + x_{2} < 4$ 时， $f (x_{1}) + f (x_{2}) < \frac{16}{3}$

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11. 甲、乙两个罐子均装有2个红球，1个白球和1个黑球，除颜色外，各个球完全相同.先从甲罐中随机取出2个球放入乙罐中，再从乙罐中随机取出1个球，记事件 $A_{i} (i = 0, 1, 2)$ 表示从甲罐中取出的2个球中含有 $i$ 个红球， $B$ 表示从乙罐中取出的球是红球，则（）

A、 $A_{0}$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 两两互斥 B、 $P (B| A_{2}) = \frac{1}{3}$ C、 $P (B) = \frac{1}{2}$ D、 $B$ 与 $A_{1}$ 不相互独立

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 若 ${(x - \frac{a}{x})}^{8}$ 的二项展开式中 $x^{6}$ 的系数是 $- 16$ ，则实数 $a$ 的值是．

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13. 某单位有1000名职工，想通过验血的方法筛查某种病毒携带者，假设携带病毒的人占 $5 %$ ，化验费用为50元/次，如果对每个人的血样逐一化验，则该单位所需的化验费用为50000元．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．按照这种化验方法，该单位所需的平均化验费用为元．（参考数据： ${0.95}^{5} \approx 0.7738$ ）

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14. 若关于x的不等式 ${(\frac{1}{x})}^{m} \leq {(\frac{1}{27})}^{x}$ 有正整数解，则实数m的最小值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{4} = 4 S_{2}, a_{2 n} = 2 a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\frac{1}{2^{a_{1}}} + \frac{1}{2^{a_{2}}} + \dots + \frac{1}{2^{a_{n}}} < \frac{2}{3}$ .

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16. 某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动．现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加．

(1)、求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率；

(2)、记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望 $E (X)$ ；

(3)、若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为 $\frac{1}{2}$ ，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为 $\frac{1}{2}$ ，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望 $E (Y)$ ．

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17. 甲参加围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，输的概率为 $1 - p$ ，每局比赛的结果独立．

(1)、当 $p = \frac{2}{3}$ 时，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？

(2)、比赛采用3局2胜制，为增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得 $- 2$ 分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．

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18. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 x + a e^{- x} (x \geq 0)$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求证： $f (x) \geq 0$ ；

(2)、当 $a = 0$ 时，求方程 $f (x) = x$ 的解的个数；

(3)、设 $n \in N^{*}$ ，证明： $\frac{1}{\sqrt{1^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{2^{2} + 2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}} > \ln (n + 1)$ ．

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19. 定义：如果函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的图象上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 具有 $C$ 关系.

(1)、判断函数 $f (x) = 4^{x} - 8$ 和 $g (x) = 2^{x + 1}$ 是否具有C关系；

(2)、若函数 $f (x) = \ln x - a x - 1$ 和 $g (x) = 1 - x^{2}$ 不具有C关系，求a的取值范围；

(3)、若函数 $f (x) = x (e^{x} - 1)$ 和 $g (x) = x + m \sin x (m < 0)$ 在区间 $(0, π)$ 上具有C关系，求m的取值范围.

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