广东广州培英中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2026-05-11 类型：期中考试

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 从包含甲、乙两人的 $7$ 人中选出 $3$ 人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（）种

A、 $120$ B、 $60$ C、30 D、20

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2. 若 $f (x) = \ln (2 - x) - x$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{Δ x} =$ （）

A、0 B、2 C、－2 D、－4

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3. 已知函数 $f (x) = x^{3} + x^{2} + m x$ 在定义域上不是单调函数，则实数 $m$ 不可能是（）

A、0 B、 $- 1$ C、1 D、 $- 2$

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4. $(x + y) {(x - y)}^{6}$ 的展开式中 $x^{4} y^{3}$ 的系数是（）

A、10 B、 $- 10$ C、5 D、 $- 5$

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5. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R ， f (1) = - 2$ ，对任意 $x \in R ， f^{'} (x) > 3$ 恒成立，则 $f (x) > 3 x - 5$ 的解集为（）

A、 $R$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(0, + \infty)$

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6. 已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取球两次，每次取一球，记第一次取出的球的数字是 $x$ ，第二次取出的球的数字是 $y$ .若事件 $A =$ “ $x + y$ 为偶数”，事件 $B =$ “ $x$ ， $y$ 中有偶数且 $x \neq y$ ”，则 $P (A |B) =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 已知函数 $f (x) = a e^{- x} + \ln x$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 2)$ 上单调递减，则实数a的最小值为（）

A、 $e^{2}$ B、 $\frac{e^{2}}{2}$ C、 $2 \sqrt{e}$ D、e

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8. 已知 $x = 0$ 是函数 $f (x) = ln (x + 1) + \frac{a}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x$ 的极大值点，则实数 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- 1$ D、 $- \frac{1}{2}$

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二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）

9. 下列结论正确的是（）

A、 $A_{n}^{m} = n A_{n - 1}^{m - 1} (m, n$ 为正整数且 $n > m > 1)$ B、满足方程 $C_{16}^{x^{2} - x} = C_{16}^{5 x - 5}$ 的 $x$ 值可能为 $x = 1$ 或 $x = 3$ C、甲、乙、丙等 $5$ 人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有 $36$ 种排法 D、把 $6$ 个相同的小球分到 $3$ 个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有 $10$ 种

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10. 设 $A$ ， $B$ ， $C$ 是同一概率空间中的随机事件，满足 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B |A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B |\bar{A}) = \frac{1}{4}$ ， $P (C |B) = \frac{1}{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $P (A B) = \frac{1}{6}$ B、 $P (B) = \frac{7}{24}$ C、 $P (A + B) = \frac{5}{8}$ D、 $P (B C) = \frac{5}{48}$

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11. 已知函数 $f (x) = x \ln x + a x$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a = 1$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在 $(e, f (e))$ 处的切线与 $3 x - y = 0$ 相互平行 B、函数 $f (x)$ 在[1，4]上单调递增的必要不充分条件是 $a \geq - 1 - \ln 4$ C、记函数 $f (x)$ 的最小值为 $φ (a)$ ，则 $φ (a) \leq a$ D、若 $a = 2$ ， $\exists k \in Z$ ，使得 $\frac{f (x) + 2 k}{x} > k + 1$ 在 $x \in (2, + \infty)$ 恒成立，则 $k$ 的最大值为3

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三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分．）

12. 若 ${(3 x - 2)}^{5} = a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} =$ ．

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13. 将 $9$ 本不同的书（包括 $1$ 本数学书和 $1$ 本英语书）平均分给甲､乙､丙三人，其中数学书和英语书不能分给同一个人，则不同的分配方法种数是.（用数字作答）

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14. 若不等式 $ln x + \frac{a}{x} \geq 2 b (a > 0)$ 对 $\forall x > 0$ 恒成立，则 $\frac{b}{a}$ 的最大值为．

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四、解答题（本大题共5小题，共77分．）

15. 在 ${(2 \sqrt{x} - \frac{3}{x})}^{n}$ 二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 $32$ .

(1)、求展开式中 $x$ 的系数；

(2)、求展开式中二项式系数最大的项.

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16. 甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球．

(1)、从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；

(2)、掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，则从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，则从乙箱中随机抽出1个球，
（i）求抽到的是红球的概率；
（ii）若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．

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17. 小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为 $10$ 分，每场比赛胜则加 $5$ 分，负则减 $5$ 分，平则积分不变；当积分达到 $0$ 分（淘汰出局）或 $20$ 分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜､负､平的概率分别为 $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}$ .

(1)、比赛终止时小明积分为 $0$ 分的概率；

(2)、在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率.

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18. 已知函数 $f (x) = x \ln x - \frac{1}{2} k x^{2} - x$ （ $k$ 为常数，且 $k \geq 0$ ）．

(1)、当 $k = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $k$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{a x}{e^{x}}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x)$ 有且仅有一个零点．

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) \leq x$ 恒成立，求a的取值范围．

(3)、证明： $\frac{\ln 2}{2} + \frac{\ln 3}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{\ln n}{n} \leq n - \frac{e (1 - e^{- n})}{e - 1} (n \geq 2, n \in N^{*})$ ．

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