6月上旬之图形的变换与解直角三角形—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递

试卷更新日期：2026-06-06 类型：二轮复习

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一、选择题

1. “斗”是中国古代重要的量米工具，形状是一个正四棱台.如图是其示意图，则它的俯视图为( )

A、 B、 C、 D、

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2. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功.如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 汽车智能随动大灯能实时根据路况转动．如图，一汽车转弯时，车灯照明的中心线OA会主动转至 OB，转动的角度∠AOB=α，若OA的长为m，则AB的长为( )

A、mtanα B、 $\frac{m}{t a n α}$ C、msinα D、 $\frac{m}{c o s α}$

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4. 如图，在矩形ABCD中， AB=8， AD=6.点E为AD的中点，点F为AB边上的动点，连结EF，作点A关于EF的对称点G，连结CG，则点F从点A运动到点B 的过程中，CG的最大值与最小值之和为( )

A、 $3 + \sqrt{73}$ B、 $7 + \sqrt{73}$ C、 $2 \sqrt{73}$ D、 $10 + \sqrt{73}$

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5. 某校在教学楼顶安装可调节角度的光伏板，用于绿色发电.如图，长为2米的光伏板AB斜靠在竖直于地面的支架 BC上，倾斜角为α.为提高发电效率，将底端A 沿CA方向移动到点 A'，顶端 B向下滑动到点 B'，此时倾斜角为β，则顶端下降的垂直高度BB'为（ )

A、（2sinβ-2sinα)米 B、（2sinα-2sinβ)米 C、（2cosβ-2cosα)米 D、（2cosα-2cosβ)米

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6. 已知：如图，D，E，F，G分别是△ABC边上的点，满足DE∥AB，FG∥AC，DE 交FG 于点M.若 $S_{△ B F G} = a^{2}, S_{△ D C E} = 4 a^{2}, S_{△ D F M} = 1,$ 其中 $a \geq \sqrt{3},$ 则四边形 AGME 面积的最小值为 ( )

A、 $7 - 3 \sqrt{3}$ B、 $14 - 6 \sqrt{3}$ C、 $6 - 3 \sqrt{3}$ D、 $12 - 6 \sqrt{3}$

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二、填空题

7. 如图，一卫星运行到地球表面 P 点的正上方A 点时，可观测到地球表面一个最远的点 Q.已知地球半径约为6400km，在Rt△AOQ中，测得 sinα=0.8，则卫星到地面高度AP 约为km.

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8. 如图是笔直杠杆AB的示意图.已知AB=180cm，支点C离水平地面的高度为20cm.当杠杆的端点A落到地面时，端点B离地面的高度为30cm，则AC的长度为cm.

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9. 某校数学创新小组使用圭表测量正午太阳高度角，圭表由铅垂的表 $A B$ （高2.0米）和水平的圭 $B C$ 组成．冬至日正午，测得太阳光线 $A D$ 与圭 $B C$ 的夹角 $∠ A D B = 44 °$ ，则冬至日正午表 $A B$ 落在圭面 $B C$ 的影长 $B D$ 为米．（精确到0.1米，参考数据： $s i n 44 ° \approx 0.69$ ， $c o s 44 ° \approx 0.72$ ， $t a n 44 ° \approx 0.97$ ）

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10. 如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，停靠时汽车靠墙一侧OA与墙XY平行，小汽车车门宽OB为1.2米.当车门打开角度∠AOB至少为35°时，人方可顺利下车.为了车门不碰到墙且能顺利下车，车可以停靠离墙最近的距离是米.(结果保留一位小数，参考数据： $s i n 3 5^{°} \approx 0.57 ， c o s 3 5^{°} \approx 0.82 ， t a n 3 5^{°} \approx 0.70$ )

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11. 直线 $l_{1} ‖ l_{2} ‖ l_{3},$ A，B，C分别为直线l₁ ， l₂ ， l₃上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l₂于点D。设直线l₁ ， l₂之间的距离为m，直线l₂ ， l₃之间的距离为n，若∠ABC=90°，BD=4，且 $\frac{m}{n} = \frac{2}{3},$ 则m+n的最大值为

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12. 2026年春晚《武BOT》节目中，机器人进行腾空弹射表演．如图，某台机器人从水平地面的B点弹射起跳，沿直线AB上升至最高点A 后下落，再沿直线AC精准落在地面C点，且AB=AC．测得最高点A 距地面高度为2.4米，起跳点B 与落地点C相距3.2米，机器人起跳路线AB 与地面BC的夹角为θ．则tanθ= ，机器人起跳路线AB的长度为米．

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13. 某山区城市所辖的A，B两座小城长期被一条大江阻隔，为促进当地的经济发展，政府决定在 A，B两城间建造一座特大型跨江大桥.如图，观测点C与小城B在江的同一侧，从小城A释放的一架无人机以1.5千米/分钟的速度径直飞往观测点C，2分钟后到达点C，同时测得∠BAC=30°，∠ACB=120°.则A，B两座小城相距千米.

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14. 如图，正方形 OEFG 和正方形ABCD 是位似图形，其位似中心为(-2，0).已知点 F的坐标为(1，1)，若点A 的坐标(2，0)，则点C的坐标为.

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15. 如图①，是我国传统中式建筑中较为常见的支摘窗，具有古朴的外观和实用的功能，窗户的上窗扇可绕窗顶的转轴向上推开，形成一个倾斜的角度，当关闭窗户时窗扇的边与窗户重合，AB=BC=50cm.如图②，当窗户推开角度∠B=α（sinα=0.8），则支撑窗扇的杆子AC长为cm.

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16. 如图，在△ABC中， ∠ABC=135°， AB=4， BC= $4 \sqrt{2}$ ，过点 B作 BD⊥AB，垂足为点 B，交 AC于点E.若点 P为射线BD上一点(不与点B，E重合)，连结AP，点F为AP的中点，连结EF，且EF=2.5，则 tan∠PAB =.

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三、解答题

17. 如图，AC是平行四边形ABCD的对角线.

(1)、用圆规和无刻度的直尺作图：以AB为对角线，作平行四边形AEBC （要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑)；

(2)、连结CE交AB于点F，连结DF交AC于点G，求 $\frac{A G}{A C}$ 的值.

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18. 小舟同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树 $A B$ 的高度，已知大树与地面垂直，他在点 $C$ 处测得大树顶端 $A$ 的仰角为 $45 °$ ，再从 $C$ 点出发沿斜坡走 $\sqrt{10}$ 米到达斜坡上 $D$ 点，在点 $D$ 处测得树顶端 $A$ 的仰角为 $37 °$ ，若斜坡 $C F$ 的坡度 $i$ （即 $t a n ∠ E C F$ ）为 $1 : 3$ （点E ， C ， B在同一水平线上）．

(1)、求小刚同学从点 $C$ 到点 $D$ 的过程中上升的高度；

(2)、求大树 $A B$ 的高度．（参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ）

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19. 《圆锥曲线论》是最早统一圆锥曲线关系的著作．如图1，圆锥的截面三角形ABC中，AB=AC，点O为底面圆心，直径 BC 为6，高AO为 $\sqrt{55} ．$ 过点O作OD∥AB交AC于点D，沿OD 的方向切割圆锥会得形状为抛物线的截线，该截线交底面于EF，D 为抛物线顶点．

(1)、求OD 的长．

(2)、正方形GHMN 的顶点G，H 在该抛物线上，点M，N 在EF 上，在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式与正方形GHMN 的面积．

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20. 如图，P是在小区入口处安装的摄像头，∠APB 为摄像头监控视角，射线PA、PB为摄像头的两条边界光线，BH为水平地面，PH⊥BH．经测量∠APH=53°，AH=4米，BH=12米． $(s i n 5 3^{\circ} \approx \frac{4}{5}, c o s 5 3^{\circ} \approx \frac{3}{5}, t a n 5 3^{\circ} \approx \frac{4}{3})$

(1)、求摄像头的安装高度 PH的长；

(2)、一个身高为1.65米的居民(图中线段CD)，步行从右至左匀速进入小区，速度为1.2米/秒．求该居民进入监控区域(点C恰好在 PB上时)至离开监控区域(点C₁恰好在 PA上时)的时间．

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21. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某省作为风力能源最多的省份之一，正在大力发展风力发电项目.电力部门在一处坡角为30°的坡地安装了一架风力发电机，如图1，某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图.已知斜坡CD=16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P的仰角为45°，利用无人机在点A正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°.

(1)、填空：∠APB=°；

(2)、求点D到地面AC的距离；

(3)、求该风力发电机塔杆PD的高度（结果精确到1米）.（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325）

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22. 某直五棱柱实心木质配件的立体图如图1所示，其底面是由边长为4cm的正方形裁去一个等腰三角形后得到的五边形，立体图标注尺寸为实际尺寸(单位： cm)，按1∶2 的比例绘制的三视图如图2所示.

(1)、求该配件的表面积.

(2)、如图3，若垂直于配件上下底面打磨出一个完整的圆柱体，该圆柱体上底面⊙O分别与俯视图中的AB， CD， EA相切于点M， N， F，求⊙O的半径.

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23. 探究角度与线段比例之间的关系
如图1，在△ABC中， AB=AC=1，点D在BC边上，且CD=2BD，连接AD并延长至点E，使得AE=AB，作CF∥AE交BE延长线于点F，连接AF交BC于点 G．记cos∠ABC=x， $\frac{D G}{C G} = y ．$

(1)、【图形认识】求证： CF=3DE．

(2)、【引元关联】设DE=t，求y关于t的函数表达式．

(3)、【特例计算】如图2，当AF⊥BC时，分别求出y和x的值．

(4)、【规律研究】已知0<x<1，求y的取值范围．

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24. 综合与实践

(1)、【提出问题】
如图1，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ，点 $P$ 是对角线 $B D$ 上一动点，连接 $A P$ ，将 $P A$ 绕点 $P$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到 $P Q$ ，连接 $A Q$ ， $D Q$ ．则 $∠ A D Q$ 的度数为_____；

(2)、【类比探究】
如图2，在正方形 $A B C D$ 中，点 $P$ 是对角线 $B D$ 上一动点，且 $B P > D P$ ，连接 $A P$ ，将 $A P$ 绕点 $P$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $P Q$ ，连接 $A Q$ ， $D Q$ ．
①求 $∠ A D Q$ 的度数；
②当 $B P = B A = 2$ 时，求 $D Q$ 的长；

(3)、【迁移运用】
如图3，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $∠ A D B = 30 °$ ，点 $P$ 是对角线 $B D$ 上一动点，连接 $A P$ ，以 $A P$ 为边在 $A P$ 的右边作 $Rt △ A P Q$ ，且 $∠ A P Q = 90 °$ ， $∠ A Q P = 30 °$ ，当点 $Q$ 到 $B D$ 的距离为 $\sqrt{6}$ 时，请直接写出 $B P$ 的长．

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