6月上旬之三角形与四边形—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递

试卷更新日期：2026-06-06 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，将菱形ABCD沿AC方向平移6个单位至菱形A'B'C'D'， A'D'交 CD于点 E， A'B'交 BC于点 F，若CE：DE=1：2，则A'C'的长度为( )

A、6 B、8 C、9 D、7

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2. 如图，在正方形ABCD中，AB=14，点G，H在BD上，E为GH上一点，过点E作EF⊥CD 于点F，连结AE，记 $\frac{E F}{A E} = x,$ 若 $\frac{3}{5} \leq x \leq \frac{4}{5},$ 则GH 的长为( )

A、2 B、2 $\sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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3. 如图，在▱ABCD中，以点 B 为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB，BC 于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 为半径作圆弧，两弧交于点 P，射线 BP 交AD 于点E，若∠C=100°，则∠AEB 的度数为( )

A、30° B、35° C、40° D、50°

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4. 如图1，这是某展览馆展示的清代木花窗，其造型美观.如图2，经数学抽象、图形提取，然后测量发现，四边形ABCD 的四边相等，点 E，F，G，H 分别为其四边中点，则四边形 EFGH 与四边形ABCD 的面积之比为 ( )

A、1：2 B、1：3 C、1：4 D、1：5

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5. 如图，在△ABC中， AB=BC， ∠ABC=120°，过点C作CD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，BD交AC于点E.若点F是CD的中点，连接FE，延长交AB于点G，则 $\frac{E G}{E F}$ 的值是( )

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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6. 数学课上，老师要求将一个含22.5°角的直角三角形，用尺规作图将其分割成两个等腰三角形.甲，乙两人的作法分别如下图所示，则( )

A、甲对乙错 B、甲错乙对 C、两人都错 D、两人都对

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7. 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以△ABC的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为 S₁ ， S₂ ， S₃ ，若图中阴影部分(△ABD)面积为定值，则下列式子也是定值的是( )

A、 $S_{1} + S_{2} + S_{3}$ B、 $S_{1} + S_{2} - S_{3}$ C、 $S_{1} - S_{2} + S_{3}$ D、 $S_{2} - 2 S_{1} + S_{3}$

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8. 如图，在平面直角坐标系中，点A， B， C的坐标分别为(3， 4)， (0， 3)， (1， 1)．若将△ABC绕点A逆时针旋转，使得点C与点C'(6，2)重合，则点B旋转后的对应点B'的坐标为( )

A、(5， 1) B、(4， 1) C、(3， 1) D、(1， 4)

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9. 学习了直角三角形中的性质定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后，小越进行了思考：在 Rt△ABC中， ∠C=90°， D为AB上一点(不与点A， B重合)，连结 CD，得到以下三个结论：
①若BD=CD，则D为斜边AB 的中点.
②若 $C D = \frac{1}{2} A B,$ 则D为斜边AB的中点.
③若△ACD和△BCD均为等腰三角形，则D为斜边AB的中点.
其中一定正确的是（）

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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二、填空题

10. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，点 $E$ 是对角线 $B D$ 上一点，连接 $A E$ ，将线段 $A E$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $A F$ ，连接 $E F$ ，点 $M$ 为 $E F$ 中点， $M N ⊥ B D$ ，垂足为 $N$ ，若 $M N = 1$ ，则 $D E =$ ．

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，分别以 $A C$ 、 $B C$ 为边向外作正方形，面积分别记为 $S_{1} 、 S_{2}$ ，若 $S_{1} = 6$ ， $S_{2} = 3$ ，则 $A B =$ ．

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12. 学习了勾股定理后，小明将如图1所示的“赵爽弦图”中的四个全等直角三角形与中间的小正方形恰好拼成如图2所示的图形.若图1中大正方形的边长为5，则图2中点A与点D之间的距离为.

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13. 如图，在菱形ABCD中， ∠A=60°，E，F分别是边AB，AD上的点，连结EF，点A关于直线EF的对称点G恰好落在边 BC上，连结 FG，EG，FG交对角线BD于点 M，若BG=1， EB=3，则BM的长为.

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14. 如图，菱形ABCD， AB=4， ∠DAB=60°，将菱形ABCD关于 AB对称，得到菱形ABC'D'，在对角线AC， AC’上有两个动点E， F， AE=C'F，连结CF， EC’交于点 P，连结AP，则 AP 的最小值为．

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15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，直角顶点 B，D 都在x轴上，连结CE，交y轴于点M.若OB=OD=1，点A(m，n)，M为线段CE 的中点，则点C的坐标为(用含m，n的代数式表示)，点M 的坐标为.

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三、解答题

16. 尺规作图问题：已知△ABC，∠ABC是钝角，AB>BC，请用尺规作AC的中点P.
小聪：如图1，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点Q，连接BQ交AC于点P，则点P为AC的中点.
小明：如图2，作AB的中垂线，垂足为点M，作BC的中垂线，垂足为点N，以点M为圆心，BN为半径作弧，交AC边于点P，则点P为AC的中点.
小聪：小明，你的作法有问题.
小明：哦…我明白了.

(1)、证明：小聪的作法是正确的.

(2)、指出小明作法中存在的问题.

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17. 课堂上，屏幕上呈现一题：
已知：如图，在四边形ABCD中， AB=AD， ▲ .
求证： BC=CD.
请在空格处添加条件并证明.
你支持 ▲ (填“小明”或“小丽”)的观点，并写出相应的证明过程.

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18. 如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，过点D在直线DC的右侧作线段DF，使DF∥AE，DF=AE，连结CF，求证： BE=CF.

小聪的证明思路如下：
先证∠BAE=∠CDF，再利用“边角边”
证△ABE≌△DCF，然后可得BE=CF.
小明的证明过程如下：
因为四边形ABCD是正方形，
所以AB=DC，∠ABC=∠BCD=90°.
因为∠BCD+∠FCD=180，
所以∠FCD=90°·
在Rt△ABE和Rt△DCF中，

\{\begin{cases} A B = D C \\ A E = D F \end{cases}

所以 Rt△ABE≌Rt△DCF (HL).
所以BE =CF.

(1)、根据小聪的证明思路，写出证明过程；

(2)、指出小明的证明过程中存在的问题．

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19. 阅读材料：图形的密铺在生活、生产中被广泛应用，其中最著名的是荷兰艺术大师埃舍尔的作品(图1)，给人一种奇妙的美感．平面图形的密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．而多边形的密铺就是共顶点的各多边形的内角之和等于360°(图2)．
问题解决：

(1)、请说明图2中用两个正方形、三个等边三角形能够密铺的理由；

(2)、若只用一种正n边形进行密铺，且n≥3，密铺的个数为k，且k为正整数，请推导n与k满足的关系式，并直接写出所有满足条件的正多边形．

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20. 如图1，四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 60 °$ ， $A (0, a)$ ， $B (b, 0)$ ， $C (c, 0)$ ，且 $| b + c | + \sqrt{a - 2 \sqrt{3}} = 0$ ．

(1)、求 $A B$ 的长；

(2)、点 $M$ 在 $B D$ 上运动， $△ A M N$ 为等边三角形．
①如图2，求证： $N D = M C$ ，并直接写出 $N D$ 的最小值；
②如图3，当点 $N$ 在 $A D$ 的上方时，求点 $N$ 的横坐标．

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21. 已知：在矩形ABCD中，点 E 在边 AB 上，将 $△ B E C$ 沿 CE 折叠，点 B 的对称点 F 恰在边 AD 上.

(1)、如图1，若 $∠ B C E = 2 1^{\circ},$ 求∠CFD 的度数.

(2)、如图2，过点 B 作BG∥EF，交 CF 于点G.求证：AF=FG.

(3)、如图3，在(2)的条件下，作BH 平分∠CBG，交CE 于点H，设AF=m，AB=n，求BH 的长(用含m，n的代数式表示).

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22. 如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点G是BC边上异于端点的任意一点， $D E ⟂ A G$ 交AG于点E，点B'是点B关于直线AG的对称点，BB' 交AG于点F，
连结EB，DB'.

(1)、求证： $△ A D E ≅ △ A B F;$

(2)、若四边形.EBB'D是平行四边形，连结DF，求DF的长度.

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23. 已知菱形 $A B C D$ 的边长为8， $∠ A B C = 60 °$ ， $△ P E F$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ， $∠ P E F = 60 °$ ，点E是边 $A B$ 的中点，点F是边 $B C$ 上一动点．

(1)、如图1，求 $E F \cdot E P$ 的值．

(2)、如图2，当E，P，D三点在同一条直线上时，求 $B F$ 的长．

(3)、如图3，连结 $P D$ ，求 $P D$ 的最小值．

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24. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点(不包含端点)， AG⊥EF于点 G， GM⊥AB于点M， EF=AG.

(1)、如图1，求证： △AMG≌△ECF.

(2)、如图2，过点 E作 HE⊥BC分别交AG， MG于点 H， N.
①求证：四边形 BMNE为正方形；
②求证： HE+GN=AB；
③若AB=1，请直接写出HE的取值范围.

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25. 数学兴趣小组在数学活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

(1)、【观察与猜想】
如图1，在正方形 $A B C D$ 中， $E, F$ 分别是 $A B, A D$ 上的两点，连接 $D E, C F$ ，若 $D E ⊥ C F$ ，求证： $△ A D E ≌ △ D C F$ ；

(2)、如图2，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 7$ ， $C D = 4$ ， $E$ 是 $A D$ 上的一点，连接 $C E, B D$ ，若 $C E ⊥ B D$ ，请求出 $\frac{C E}{B D}$ 的值；

(3)、【类比探究】
如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ B = 90 °$ ， $E$ 为 $A B$ 上一点，连接 $D E$ ，过点 $C$ 作 $C G ⊥ D E$ 交 $E D$ 的延长线于点 $G$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $F$ ，求证： $\frac{D E}{C F} = \frac{A D}{A B}$ ；

(4)、【拓展延伸】
如图4，在 $R t △ A B D$ 中， $∠ B A D = 90 °$ ， $A D = 15$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 翻折， $A$ 落在 $C$ 处，得到 $△ C B D$ ， $F$ 为线段 $A D$ 上一动点，连接 $C F$ ，作 $D E ⊥ C F$ ，交直线 $A B$ 于E ，垂足为 $G$ ，连接 $A G$ ．若 $\frac{D E}{C F} = \frac{5}{4}$ ，直接写出 $A G$ 的最小值．

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