6月上旬之二次函数—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递

试卷更新日期：2026-06-06 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a⟩ 0)$ 的图象关于直线x=x₀对称. 若该抛物线与直线y=x交于点 A（x₁ ， y₁)， B（x₂ ， y₂)，且 $0 < x_{1} < x_{2} < \frac{1}{a},$ 则下列说法正确的是（ )

A、 $x_{0} < \frac{x_{1}}{2}$ B、 $\frac{x_{1}}{2} < x_{0} < \frac{x_{2}}{2}$ C、 $\frac{x_{2}}{2} < x_{0} < x_{2}$ D、 $x_{0} > x_{2}$

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2. 如图，一块长方形ABCD绿地，AB=8米，BC=6米，中间铺设了两条互相垂直的路径(EF⊥AC)，路径两边互相平行(EF∥GH，AC∥MN) ，重叠部分为四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1},$ 已知EG=CN=x米，设四块绿地AA₁ED，△MB₁F，HBNC₁ ， △CD₁G的面积总和为y，则y与x的函数解析式是( )

A、 $y = (8 - x) (6 - x)$ B、 $y = \frac{98}{75} x^{2} - 14 x + 48$ C、 $y = \frac{33}{25} x^{2} - 14 x + 48$ D、 $y = \frac{4}{3} x^{2} - 14 x + 48$

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3. 如图，在平面直角坐标系中，A(-2，-3)，B(3， 7)，点P是线段AB上(含端点) 的一点，将点B绕着点 P逆时针旋转 90°得到点 M，若点 M在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像上，则k的最小值为( )

A、-24 B、-27 C、-28 D、-30

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4. 如图1，直线l⊥直线m，垂足为点O，点A和点 B分别是直线l和直线m上两定点，点P从点A 出发，以每秒1个单位长度，沿直线l水平向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度，沿直线m竖直向上运动，设运动时间为x(s)，△PQO面积为y．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，图象与x轴只有一个交点D，且经过G(1，9)和E(n，q)，点C和点E是关于抛物线的对称轴对称的两点，下列选项正确的是( )

A、点D坐标为(3， 0) B、当y=9时， x=1或7 C、q=32 D、点(10， 34)在该函数图象上

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5. 如图1，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，动点P从A处出发沿AB向目的地B运动，同时动点Q从B处出发沿BC—CD—DA向目的地A运动，它们同时到达终点.设AP为x(单位：cm)，△QPE的面积为y(单位：cm²)，y关于x的函数图象如图2 所示，当点 P在线段EB上运动时，该时段函数图象的最高点坐标为(m，n).下列选项错误的是( )

A、AE=4cm B、CD=6cm C、m=5 D、n=2

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6. 如图1，在△ABC中，∠C=90°，D为边AC的中点.动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线AB-BC匀速运动，到达点C后停止，连结DE.设点E的运动时间为x(单位：秒)，DE²为y.在动点E运动的过程中，y与x的函数图象如图2所示.下列说法不正确的是( )

A、AD=4 B、 $m = \frac{32}{5}$ C、点(12， 25)在该函数图象上 D、y的最大值为52

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7. 如图①，矩形ABCD中，AB=6，点Q从点A出发向终点B匀速运动；同时点P以不同于点Q的速度从点B出发向终点C匀速运动.期间△DPQ的面积S与时间t的函数图象如图②所示，当t=4秒时，S取得最小值；当t≥6秒时，函数图象是一条线段.则下列说法错误的是（）

A、线段AD的长度为16 B、Q的速度为每秒1个单位长度 C、当点P运动至BC中点时，△DPQ的面积最小 D、△DPQ的面积的最小值为36

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8. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D是边 $A C$ 上的定点，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿边 $A B \to B C$ 匀速运动，到达点C后停止，连结 $D E$ ，设点E的运动时间为x（单位：秒）， $D E^{2}$ 为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图象如图2所示，则下列选项正确的是（）

A、 $A B = 8$ B、 $m = 9 + 3 \sqrt{5}$ C、 $n = 53$ D、点 $(6, 20)$ 在该函数图象上

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9. 如图1，汽车制动性能测试包含匀速行驶阶段和刹车阶段，图2是某次测试中汽车离点A的距离S(米)关于行驶时间t(秒)的函数图象．
①匀速行驶阶段：汽车从点A 出发，以v₀的速度沿AB方向匀速行驶，2秒后到达点C．
②刹车阶段：汽车自点C处开始刹车，6秒后在点 D处停止，这个过程中S与t满足关系： $S = - \frac{1}{2} a t^{2} + (v_{0} + 10) t - 10$ (a为常数且a≠0)．
下列选项中正确的是( )

A、 $v_{0} = 60$ 米/秒 B、汽车行驶总时间为10秒 C、a=6 D、n=150米

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二、解答题

10. 已知点A (-2，-4)在二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x$ (a为常数，且a≠0)的图象上.

(1)、求a的值.

(2)、点B (m， n)， C(m+k， n+k)(k>0)均在二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x$ 的图象上.
①当点 B与点A重合时，求点 C的坐标；
②当m≤x≤m+k时，函数值的范围是 n≤y≤n+k，求k的最大值.

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11. 已知抛物线. $y = a x^{2} - 4 a x (a \neq 0) .$

(1)、求该抛物线与x轴的交点.

(2)、点A(t， y₁) 和B (t，y₂) 分别在抛物线. $y = a x^{2} - 4 a x$ 和 $y = x^{2} - 2 x$ 上(t>0).
①当a<0时，两抛物线有交点(s，y₃)，且0<t<s时，A，B两点间距离最大为2，求a的值.
②若 $y_{1} < y_{2}$ 恒成立，请直接写出a的取值范围.

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12. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + 3$ (b为常数)与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点 B，对称轴直线 x=1与x轴交于点 C.点P 为抛物线上第一象限内的动点，设P 点的横坐标为m.

(1)、求 b 的值.

(2)、当0≤x≤m时，记二次函数 $y = - x^{2} + b x + 3$ 的最大值、最小值分别为 s， t.若s-t=0.5，求m的值.

(3)、过点 P 分别作 x轴和对称轴的垂线，垂足分别为点 D，E，当矩形 PECD 的周长最大时，求点 P 的坐标.

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13. 在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线 $y = x^{2} + 2 t x + t^{2} + 2 t$ 的顶点.

(1)、求点 P的坐标(用含t的代数式表示).

(2)、直线OP 交抛物线于点 Q(x₂ ， y₂).
①若点O恰为PQ的中点，求此时t的值.
②点 M(x₃ ， y₃)在抛物线上，当 $0 < x_{3} < 2$ 时，y_2＜y₃始终成立，求t的取值范围.

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14. 如图，二次函数 $y_{1} = x^{2} - 2 x, y_{2} = a x^{2} - 2 x$ (a为常数，且a≠0) 的图象在同一平面直角坐标系中，且 $y_{2} = a x^{2} - 2 x$ 的图象过点(4， 0) ．

(1)、求a的值．

(2)、与x轴平行的直线l与y₁的图象交于A，B两点，记点A，B的横坐标分别是x_A ， x_B ，且 $x_{A} - x_{B} = 3,$ 当 $x_{B} \leq x \leq x_{A}$ 时，求y₂的函数值的取值范围．

(3)、已知点(m， n)， (m+k， n)(其中m≥1， k>0)分别在y₁ ， y₂图象上，求k的最小值．

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15. 抛物线 $y = x^{2} + b x + 3$ (b为常数)经过点(3，0).

(1)、求二次函数的表达式.

(2)、当t≤x≤t+2时，二次函数 $y = x^{2} + b x + 3$ 的最大值为15，求 t的值.

(3)、已知正方形ABCD的边长为9， AB∥x轴， AB在CD下方，点A在点B的左侧.在正方形ABCD任意平移的过程中，抛物线的一段. $y = x^{2} + b x + 3 (m \leq x \leq n)$ 在正方形ABCD的边界及其内部，其中m≤2≤n，当n-m达到最大值时，求点D横坐标 $x_{D}$ 的取值范围.

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16. 电子跳蚤可在复杂环境中执行任务.将其抽象为一点，起跳后的运动轨迹可看作抛物线的一部分，且每次运动的轨迹形状保持不变.实验中，跳蚤从水平地面上的点O起跳，最终落在水平地面上的点P.以点O为原点，OP所在直线为x轴，过点O垂直于地面的直线为y轴，以1cm为一个单位长度建立平面直角坐标系xOy.已知OP=20cm，轨迹最高点距地面(x轴) 10cm.

(1)、求跳蚤跳跃轨迹对应的抛物线函数表达式.

(2)、跳蚤前方地面上有一长方体挡板，其截面为矩形ABCD，与运动轨迹在同一平面内.已知OA=28cm， AB=2cm， BC=7.5cm.若跳蚤先向挡板垂直方向爬行k米，再按(1)中的轨迹跳跃一次，刚好跳到挡板上底面，即其下落轨迹经过线段CD(含端点C、D)，求爬行距离k的取值范围.

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17. 【阅读理解】
同学们，我们来学习近似计算二次方程解的方法．
例如，求 $2 x^{2} + 2 x - 7 = 0$ 的解．
思路：在二次函数 $y = 2 x^{2} + 2 x - 7$ 中，若取x的值为 $x_{1}, x_{2}, x_{1} < x_{2},$ 使得相应的函数值 $y_{1} \cdot y_{2} < 0,$ 则抛物线与x轴的交点中至少有一个在 $(x_{1}, 0)$ 与 $(x_{2}, 0)$ 之间，也就是说，方程 $2 x^{2} + 2 x - 7 = 0$ 至少有一个解在 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ 之间．

(1)、【尝试探究】
小明按照上述方法求方程 $2 x^{2} + 2 x - 7 = 0$ 的一个解，过程如下表：
x的值
0
1
2
3
$y = 2 x^{2} + 2 x - 7$
$- 7$
a
b
c
请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间．

(2)、【迁移应用】
若关于x的方程 $x^{2} + 4 x + m = 0$ 有两个不同的解，恰有一个解落在-4与-3之间，求m的取值范围．

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18. 请根据以下素材，完成探究任务．

汉服承载着华夏民族数千年的礼仪衣冠体系，其“交领右衽”“天人合一”的设计理念，凝结了东方美学的智慧结晶．从盛唐气象到宋明风韵，不同形制的演变映射着时代精神风貌．今有某传统服饰工坊，以匠心复刻唐制齐胸襦裙之飘逸、宋制褙子之雅致、明制袄裙之端庄，邀您共探传统工艺与现代经营的数学奥秘．

制定汉服加工方案

生产背景

背景1

（1）某汉服工坊安排60名工匠承接订单，主打三类经典形制：唐制·齐胸襦裙（象征开放包容的盛世气度）、宋制·褙子套装（体现简约理性的文人审美）、明制·袄裙（彰显严谨庄重的礼制规范）；

（2）根据非遗技艺要求，每位工匠每日仅能专精一种类型：唐制人均日产3套，宋制人均日产2套，明制人均日产1套；

（3）客户合同约定：宋制汉服至少交付15套；明制与唐制产能需严格匹配，按套数 $1 : 1$ 供应高端团购单．

背景2

当前市场行情下各款式获利情况如下：

①唐制布料成本低和走量销售，单套净利润30元；

②明制采用云锦面料和手工镶边，单套净利润90元；

③宋制实行差异化定价：当每日生产15套时，每套获利120元；在此基础上，每多生产1套，平均每套获利减少3元．

信息整理

现规划x名匠人主攻宋制，y名匠人负责唐制，其余匠人负责明制，列表如下：

汉服类型	加工人数	人均日产量/套	单套净利润/元
唐制	y	3	30
宋制	x	2
明制		1	90

探究任务

(1)、任务1：探寻变量关系

根据合同约束，求x ， y之间的数量关系．

(2)、任务2：建立数学模型

设该汉服工坊每日总利润为W元，求W关于x的函数表达式．

(3)、任务3：拟定最优方案

确定使每日总利润最大的分配方案．

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x的值	0	1	2	3
$y = 2 x^{2} + 2 x - 7$	$- 7$	a	b	c