广东省惠州市光正实验学校2025届高三下学期五月适应性测试一数学试题

试卷更新日期：2025-05-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = \{x | x^{2} - 5 x - 6 < 0\}, B = {- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1, 2, 3}$ B、 ${0, 1, 2, 3}$ C、 ${- 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$ D、 ${- 1, 0, 1, 2}$

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2. 已知 $(1 + i) z = i^{2} - i^{3}$ ，则 $z - \bar{z} =$ （）

A、 $2 i$ B、 $- 2 i$ C、 $0$ D、 $1$

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3. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为单位向量，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 3 \vec{b})$ ，则 $|3 \vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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4. 已知随机变量 $ξ \sim N (1, σ^{2})$ ，且 $P (ξ \leq 0) = P (ξ \geq a)$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{9}{a - x} (0 < x < a)$ 的最小值为（）

A、4 B、8 C、16 D、 $\frac{19}{2}$

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5. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = 1 + a_{n} a_{n + 1}$ ， $a_{1} = 2$ ，则此数列前 $100$ 项的和为（）

A、 $\frac{97}{2}$ B、 $\frac{99}{2}$ C、 $50$ D、 $\frac{103}{2}$

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6. 已知 $\frac{\tan θ \tan 2 θ}{\tan θ - \tan 2 θ} = \frac{4}{5}$ ，则 $\sin^{4} θ + \cos^{4} θ =$ （）

A、 $\frac{9}{25}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{17}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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7. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, f (x + 2)$ 为偶函数， $f (x + 1)$ 为奇函数，则（）

A、 $f (- \frac{1}{2}) = 0$ B、 $f (- 1) = 0$ C、 $f (2) = 0$ D、 $f (4) = 0$

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8. 已知正实数 $a, b$ 满足 $a - 2 \ln a = 2 \ln b - 4 b + 4$ ，则 $\log_{a} b =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、-1 D、 $- \frac{1}{2}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 与函数 $g (x) = cos (4 x + θ) (|θ| < \frac{π}{2})$ 的图象的对称中心完全相同，则（）

A、函数 $f (x + \frac{π}{6})$ 为偶函数 B、 $θ = \frac{π}{3}$ C、直线 $x = \frac{π}{3}$ 是 $g (x)$ 图象的一条对称轴 D、 $(\frac{7 π}{24}, 0)$ 是 $g (x)$ 图象的一个对称中心

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10. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E是 $C C_{1}$ 的中点，点F是面 $B C C_{1} B_{1}$ 上的动点（包括边界），且满足 $A_{1} F / /$ 平面 $A D_{1} E$ ，则下列结论正确的是（）

A、动点F的轨迹的长度为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、三棱锥 $A_{1} - C C_{1} F$ 体积的取值范围为 $[\frac{2}{3}, \frac{4}{3}]$ C、当三棱锥 $A_{1} - C C_{1} F$ 体积取最大值时，其外接球的表面积为 $\frac{25π}{2}$ D、当三棱锥 $A_{1} - C C_{1} F$ 体积取最小值时，其外接球的表面积为 $14 π$

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11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 绕其顶点分别逆时针旋转 $90^{\circ} ､ 180^{\circ} ､ 270^{\circ}$ 后所得三条曲线与 $C$ 围成的（如图阴影区域）， $A ､ B$ 为 $C$ 与其中两条曲线的交点，若 $p = 2$ ，则（）

A、开口向上的抛物线的方程为 $y = 4 x^{2}$ B、阴影区域的面积大于64 C、 $|A B| = 8$ D、直线 $x + y = t$ 截第一象限花瓣的弦长最大值为 $\sqrt{2}$

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三、填空题

12. 已知函数 $f (x) = (a - \frac{2}{2^{x} + 1}) cos x$ 是奇函数，则实数 $a =$ ．

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13. 若直线 $y = k (x + 2)$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 相切于第一象限点 $P$ ，则 $k =$ ．

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14. 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X表示小球落入格子的号码，则下面结论中正确的序号是．
① $P (X = 1) = P (X = 6) = \frac{1}{64}$ ；② $P (X = 2) = P (X = 5) = \frac{5}{32}$ ；
③ $P (X = 3) = P (X = 4) = \frac{5}{16}$ ；④ $E (X) = \frac{7}{2}$ ．

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四、解答题

15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b = 2$ ，且满足 $a tan A cosB + b sin A = 2 c tan A cos B$

(1)、求角 $B$ 的大小

(2)、 $△ A B C$ 的内心为 $I$ ，求 $△ A C I$ 周长的取值范围.

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16. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长均为2，且 $B D = 2$ ， $\cos ∠ A_{1} A B = \cos ∠ A_{1} A D = \frac{3}{4}$ ， $E$ 是 $A_{1} C_{1}$ 中点．

(1)、求证：平面 $A_{1} B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $A_{1} - B C - E$ 的余弦值．

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17. 设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，已知 $a_{2} = 1, 2 S_{n} = n a_{n}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{a_{n + 1}}{2^{n}}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a$

(1)、若 $a = 1, g (x) = f (x) \cos x - \sin x$ ，讨论函数 $g (x)$ 在 $(0, 2 π)$ 的单调性；

(2)、若 $a = 1$ ，求证： $f (x) \geq x$ ．

(3)、若 $h (x) = f (x) - x \cos x$ 在 $[0, + \infty)$ 上有唯一的零点，求实数 $a$ 的最小值．

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19. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点和两个顶点四点共圆，且与直线 $x - \sqrt{6} y = 4$ 相切.

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、过点 $(0, 1)$ 作斜率为 $k$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $C$ 、 $D$ 两点，线段 $C D$ 的垂直平分线交 $y$ 轴于点为 $Q$ ，点 $Q$ 关于直线 $C D$ 的对称点为点 $P$ ，若四边形 $P C Q D$ 为正方形，求 $k$ 的值.

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