贵州省黔南州2025-2026学年度第二学期八年级数学期中测试卷

试卷更新日期：2026-05-28 类型：期中考试

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一、单选题(共12题；共24分)

1. 要使二次根式 $\sqrt{x - 3}$ 有意义，则x的取值可以是（）

A、0 B、1 C、2 D、4

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2. 下列各式中，属于最简二次根式的为（）。

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{a^{3}}$ D、 $\sqrt{\frac{5}{3}}$

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3. 下列计算正确的是（ )

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{3} = 6 \sqrt{6}$ C、 $2 + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{8} \div 2 = \sqrt{4}$

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4. 以下列各组数为三边长的三角形中，能构成直角三角形的是（）

A、1，2，3 B、 $1,1, \sqrt{2}$ C、6，7，10 D、 $3^{2}, 4^{2}, 5^{2}$

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5. 如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面7.5m，树的顶端离树根4m，则这棵树在折断之前的高度是（）

A、16m B、18m C、22m D、24m

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6. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，若 $S_{1} + S_{3} - S_{2} = 32$ ，则阴影部分面积为（）

A、8 B、14 C、16 D、18

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7. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，F是线段DE上的一点。连结AF，BF，∠AFB=90°，且AB=8，BC=14，则EF的长是( )。

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形

A、4或5 B、3或4 C、3或4或5 D、4或5或6

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9. 多边形的密铺在我们生活中经常遇见，例如用瓷砖拼铺房屋外墙面或地面等．下列正多边形中，只用一种不能密铺的是（）

A、正三角形 B、正四边形 C、正五边形 D、正六边形

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10. 如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，AE恰好平分∠BAD，若CE=3，则▱ABCD的周长为（）

A、9 B、12 C、18 D、24

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11. 如图，矩形内有两个相邻的正方形.若两个正方形的面积分别为S₁=1和S₂=2，则图中阴影部分的面积为( )

A、1 B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{2} + 2$

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12. 下列命题中，真命题的是（）

A、有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 B、两组邻边相等的四边形是菱形 C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D、对角线互相平分且相等的四边形是正方形

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二、填空题(共4题；共12分)

13. 化简： $\sqrt{（ 1 - \sqrt{2})^{2}} =$ .

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14. 如下图：在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， D、E、F分别是各边中点， $A B = 6 c m$ ， $A C = 8 c m$ ，则 $△ D E F$ 的周长=cm．

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15. 如图，某阶梯每一层高 20cm，宽 40cm，长50cm，现有一只蚂蚁打算从A点爬到B点，则最短路程是cm.

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16. 如图，一技术人员用刻度尺（单位： $c m$ ）测量某三角形部件的尺寸。已知 $∠ A C B = 90 °$ ， D为边AB的中点，点A，B对应的刻度分别为1，7，则 $C D =$ $c m$ 。

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三、解答题(共8题；共64分)

17. 计算： $(\sqrt{3} - 1)^{2} - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})$ ．

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18. 先化简，再求值： $(1 - \frac{2}{x + 3}) \div \frac{x^{2} + x}{x^{2} - 9},$ 其中 $x = \sqrt{3} .$

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19. 如图，某社区有一块四边形空地 $A B C D$ ， $A B = 15 m$ ， $C D = 8 m$ ， $A D = 17 m$ ．从点A修了一条垂直 $B C$ 的小路 $A E$ （垂足为E），E恰好是 $B C$ 的中点，且 $A E = 12 m$ ．

(1)、求边 $B C$ 的长；

(2)、连接 $A C$ ，判断 $△ A D C$ 的形状；

(3)、求这块空地的面积．

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20. 如图，李明家有一块长方形空地 $A B C D$ ，长 $B C$ 为 $\sqrt{72} m$ ，宽 $A B$ 为 $\sqrt{32} m$ ，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为 $(\sqrt{10} + 1) m$ ，宽为 $(\sqrt{10} - 1) m$ ．

(1)、求长方形空地 $A B C D$ 的周长；（结果化为最简二次根式）

(2)、已知李明家种植的草莓售价为8元/千克，且每平方米产草莓15千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？

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21. 如图，四边形 $A B C D$ 为矩形，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点O， $D E ∥ A C$ 交 $B C$ 的延长线于点E．

(1)、求证： $B C = C E$ ；

(2)、若 $∠ E = 40 °$ ，求 $∠ B O C$ 的度数．

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22. 如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F.

(1)、求证：AE＝BF；

(2)、若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值.

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23. 阅读下列解题过程：
$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} = \frac{1 \times (\sqrt{5} - \sqrt{4})}{(\sqrt{5} + \sqrt{4}) (\sqrt{5} - \sqrt{4})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{4}}{{(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{4})}^{2}} = \sqrt{5} - \sqrt{4}$ ，
$\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} = \frac{1 \times (\sqrt{6} - \sqrt{5})}{(\sqrt{6} + \sqrt{5}) (\sqrt{6} - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{{(\sqrt{6})}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}} = \sqrt{6} - \sqrt{5}$ ．
请回答下列问题：

(1)、观察上面的解答过程，请写出 $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} =$ ；

(2)、请你用含 $n$ （ $n$ 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律：；

(3)、利用上面的解法，请化简： $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2024}} + \frac{1}{\sqrt{2024} + \sqrt{2025}}$ ．

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24. 【问题提出】：如图1， $E$ 是菱形 $A B C D$ 边 $B C$ 上一点， $△ A E F$ 是等腰三角形， $A E = E F$ ， $∠ A E F = ∠ A B C = α (α \geq 90 °)$ ， $A F$ 交 $C D$ 于点 $G$ ，探究 $∠ G C F$ 与 $α$ 的数量关系．
【问题探究】

(1)、先将问题特殊化，如图2．当 $α = 90 °$ 时，求出 $∠ G C F$ 的大小；（提示：可在 $A B$ 边上取点 $M$ ，使 $A M = E C$ ．连接 $M E$ ，构造全等三角形来解答问题）

(2)、再探究一般情形，如图1，求 $∠ G C F$ 与 $α$ 的数量关系．

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