浙教版数学七年级下册常考题型分类同步练 2.5 三元一次方程组及其解法

试卷更新日期：2026-05-27 类型：同步测试

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一、三元一次方程（组）辨析

1. 下列方程：
①xy+z=1；②x-y+z=-1；③xyz=0；④x(x+2)-y=x²+z；⑤ $\frac{1}{x}$ +2y+z=6，其中是三元一次方程的有（）

A、①② B、②⑤ C、②④ D、只有②

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2. 下列方程组中是三元一次方程组的是（）

A、 $\{\begin{array}{l} x^{2} = 4 ， \\ x = x - 1 ， \\ x + y = 0 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} 2 x + y = 1 ， \\ x + z = 2 ， \\ y + z = 0 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} z = x + 3 ， \\ \frac{5}{x} + \frac{y}{3} = \frac{1}{2} ， \\ x + 2 y = 3 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 1 ， \\ \frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 2 ， \\ x - y = 5 \end{array}$

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3. 下列方程组中，不是三元一次方程组的是（）．

A、 $\{\begin{matrix} x = 5 ， \\ x + y = 7 ， \\ x + y + z = 6 \end{matrix}$ B、 $\{\begin{matrix} x + y = 3 ， \\ y + z = 4 ， \\ z + x = 2 \end{matrix}$ C、 $\{\begin{matrix} 4 x - 9 z = 17 ， \\ 3 x + y + 15 z = 18 ， \\ x + 2 y + 3 z = 2 \end{matrix}$ D、 $\{\begin{matrix} x + y - z = 5 ， \\ x y z = 1 ， \\ x - 3 y = 2 \end{matrix}$

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二、三元一次方程（组）的解

4. 下列四组数值中，是方程组 $\{\begin{array}{l} x + 2 y + z = 0 \\ 2 x - y - z = 1 \\ 3 x - y - z = 2 \end{array}$ 的解的是（）

A、 $\{\begin{array}{l} x = 0 \\ y = 1 \\ z = - 2 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 1 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x = 0 \\ y = - 1 \\ z = 0 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = - 2 \\ z = 3 \end{array}$

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5. 运用加减法解方程组 $\{\begin{array}{l} 11 x + 3 z = 9 ， \\ 3 x + 2 y + z = 8 ， \\ 2 x - 6 y + 4 z = 5. \end{array}$ 较简单的方法是（）

A、先消去x，再解 $\{\begin{array}{l} 22 y + 2 z = 61 \\ 66 y - 38 z = - 37 \end{array}$ B、先消去y，再解 $\{\begin{array}{l} 11 x + 7 z = 29 \\ 11 x + 3 z = 9 \end{array}$ C、先消去x，再解 $\{\begin{array}{l} 2 x - 6 y = - 15 \\ 38 x + 18 y = 21 \end{array}$ D、三个方程相加得 $8 x - 2 y + 4 z = 11$ 再解

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6. 解方程组 $\{\begin{matrix} 2 x + y - 3 z = 5 \\ - 4 x - y + 2 z = 12 \\ 5 x + y + 7 z = 14 \end{matrix}$ ，最简便的消元方法是（）

A、先消去x B、先消去y C、先消去z D、先消去常数项

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7. 关于方程组 $\{\begin{matrix} 3 x - y + z = 4 ， ① \\ 2 x + 3 y - z = 12 ， ② \\ x + y - 2 z = 3 ③ \end{matrix}$ 的解法中，不正确的是（）．

A、由①②消去z ，再由①③消去z B、由①③消去z ，再由②③消去z C、由①③消去y ，再由①②消去y D、由①②消去z ，再由①③消去y

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8. 三元一次方程x-y+z=3有无数个解，下列四组值中，不是该方程的解的是 ( )

A、 ${\begin{matrix} x = 1, \\ y = 1, \\ z = 3 \end{matrix}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 2, \\ y = 1, \\ z = 2 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 2, \\ y = 3, \\ z = 4 \end{array}$ D、 ${\begin{matrix} x = 3, \\ y = 2, \\ z = 1 \end{matrix}$

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9. 将三元一次方程组 ${\begin{cases} 5 x + 4 y + z = 0 ， ① \\ 3 x + y - 4 z = 11 ， ② \\ x + y + z = - 2 ， ③ \end{cases}$ 经过步骤①-③和③×4+②消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（）

A、 ${\begin{cases} 4 x + 3 y = 2 \\ 7 x + 5 y = 3 \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} 4 x + 3 y = 2 \\ 23 x + 17 y = 11 \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} 3 x + 4 y = 2 \\ 7 x + 5 y = 3 \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} 3 x + 4 y = 2 \\ 23 x + 17 y = 11 \end{cases}$

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10. 解方程组：

(1)、 $\{\begin{array}{l} 2 x - y - 3 z = 2 ， \\ y = 2 z ， \\ x + z = 8 ． \end{array}$

(2)、 $\{\begin{array}{l} a + b + c = 6 ， \\ a - b - c = - 4 ， \\ 2 a + 3 b + c = 11 ． \end{array}$

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三、三元一次方程组中的整体求值

11. 已知 $\{\begin{matrix} x + y = 2 \\ y + z = 3 \\ z + x = 7 \end{matrix}$ ，则 $x + y + z$ 的值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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12. 若实数 $x ， y ， z$ 满足 ${\begin{array}{l} x - y + 4 z = 1 \\ x - 2 y + 3 z = 3 \end{array}$ ，则 $x + y + 6 z =$ （）

A、 $- 3$ B、 $0$ C、 $3$ D、不能确定值

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13. 已知 ${\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 \end{cases}$ 是方程组 ${\begin{cases} a x + b y = 2 \\ b y + c z = 3 \\ c x + a z = 7 \end{cases}$ 的解，则a+b+c的值是（）

A、3 B、2 C、1 D、无法确定

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14. 【阅读理解】
在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知 $\{\begin{matrix} 3 x + 2 y + z = 4 & ① \\ 7 x + 4 y + 3 z = 10 & ② \end{matrix}$ ，求 $2 x + y + z$ 的值．
解： $② - ①$ 得： $4 x + 2 y + 2 z = 6$ ③
$③ \times \frac{1}{2}$ 得： $2 x + y + z = 3$ ，所以， $2 x + y + z$ 的值为 $3$ ．
【类比迁移】（1）已知 $\{\begin{matrix} x + 2 y + 3 z = 10 ① \\ 5 x + 6 y + 7 z = 2 ② \end{matrix}$ 求 $3 x + 4 y + 5 z$ 的值；
【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买 $3$ 本笔记本、 $2$ 支签子笔、 $1$ 支记号笔需要 $28$ 元；若购买 $7$ 本笔记本、 $5$ 支签字笔、 $3$ 支记号笔需要 $66$ 元；本班共 $45$ 位同学，则购买 $45$ 本笔记本、 $45$ 支签字笔、 $45$ 支记号笔需要多少钱？

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四、三元一次方程组中的比值

15. 由方程组 $\{\begin{array}{l} x - 2 y + 3 z = 0 \\ 2 x - 3 y + 4 z = 0 \end{array}$ 可得，x∶y∶z是（）

A、1∶2∶1 B、1∶（－2）∶（－1） C、1∶（－2）∶1 D、1∶2∶（－1）

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16. 若： $4 x - 3 y - 6 z = 0$ ， $x + 2 y - 7 z = 0$ ， $(x y z \neq 0)$ ，则：代数式 $\frac{5 x^{2} + 2 y^{2} - z^{2}}{2 x^{2} - 3 y^{2} - 10 z^{2}}$ 的值等于（　　）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{19}{2}$ C、 $- 15$ D、 $- 13$

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五、三元一次方程组的应用

17. 甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　）

A、128元 B、130元 C、150元 D、160元

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18. 某次足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.某球队参赛15场，积33分，若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情况可能有( ).

A、15种 B、11种 C、5种 D、3种

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19. 利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．量的数据如图，则桌子的高度等于（）

A、 $80 cm$ B、 $75 cm$ C、 $70 cm$ D、 $65 cm$

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20. 某宾馆有单人间，双人间，三人间三种客房供游客选择居住，现某旅游团有18名游客同时安排居住在该宾馆，若每个房间都住满，共租了8间客房，则居住方案有（　　）

A、2种 B、3种 C、4种 D、5种

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21. 如图，前两个天平已保持平衡，现要求在第三个天平的右边只放 ▲ ，要使之保持平衡，则应放 ▲ 的数量为（　　）

A、5个 B、6个 C、7个 D、8个

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22. 仔细观察图，认真阅读对话：
根据以上对话内容，可知小明买的5元邮票有（）．

A、1枚 B、3枚 C、5枚 D、7枚

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23. 现有A，B，C三种型号的正方形和长方形纸片若干张，大小如图所示.从中取出部分纸片进行无重叠拼接，拼成一个长和宽分别为16和7的新长方形，在各种拼法中，B型纸片需要的张数最多为（）

A、4张 B、5张 C、8张 D、9张

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24. 某农场有300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻．棉花和蔬菜，已知种植每种农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需投入资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
已知该农场计划投入设备资金67万元，应该怎样安排这三种农作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投人的资金正好够用？

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农作物品种	每公顷需劳动力	每公顷需投入资金
水稻	4人	1万元
棉花	8人	1万元
蔬菜	5人	2万元