浙教版七年级下册数学期末综合复习--压轴题3

试卷更新日期：2026-05-26 类型：同步测试

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一、单选题

1. 长方形 $A B C D$ 按如图所示折叠， $E H ∥ P Q$ ，若 $∠ D P Q$ 的度数增大 $10 °$ ，则 $∠ E F C$ 的度数变化情况为（）

A、增大 $10 °$ B、减小 $10 °$ C、增大 $5 °$ D、减小 $5 °$

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2. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为 $x$ 天，则可列方程为（）

A、 $\frac{900}{x + 1} \times 2 = \frac{900}{x - 3}$ B、 $\frac{900}{x + 1} = \frac{900}{x - 3} \times 2$ C、 $\frac{900}{x - 1} = \frac{900}{x + 3} \times 2$ D、 $\frac{900}{x - 1} \times 2 = \frac{900}{x + 3}$

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3. 如图，已知 $A B ∥ C D$ ，点 $E$ 在两平行线之间，连接 $B E$ ， $C E$ ， $∠ A B E$ 的平分线与 $∠ B E C$ 的平分线的反向延长线交于点 $F$ ，若 $∠ B F E = 50 °$ ，则 $∠ C$ 等于（）．

A、 $70 °$ B、 $80 °$ C、 $85 °$ D、 $90 °$

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4. 图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为l₁ ，面积为S₁ ，图2中阴影部分周长为l₂ ，面积为S₂ ．若 $S_{2} - S_{1} = {(\frac{l_{1} - l_{2}}{2})}^{2}$ ，则 $b : c$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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5. 东阳江的治理实现了水清、岸绿、景美.某工程队承担东阳江某段3000米河道的清淤任务，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加 $25 %$ ，结果提前30天完成这一任务.设原计划每天完成x米的清淤任务，则所列方程正确的是（）

A、 $\frac{3000}{x} + 30 = \frac{3000}{x (1 + 25 %)}$ B、 $\frac{3000}{x} + 30 = \frac{3000}{x (1 - 25 %)}$ C、 $\frac{3000}{x} = \frac{3000}{x (1 - 25 %)} + 30$ D、 $\frac{3000}{x} = \frac{3000}{x (1 + 25 %)} + 30$

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6. 如图，三个边长分别为a，b，c的正方形并排放置，记阴影部分的面积为S，则下列关于S的说法正确的是（）

A、S的值与a的取值无关 B、S的值与b的取值无关 C、S的值与c的取值无关 D、S的值与a，b，c的取值均有关

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7. 将长方形 $A$ 和长方形 $B$ 按如图所示摆放，由图中信息可知，“？”的值为（）

A、6.75 B、6.5 C、6.25 D、6

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8. 如图，在一次数学实践活动课上，某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠.折痕分别为AB， CD，若CD∥BE，且∠ABC=3∠EBC，则∠1的度数为( )

A、108° B、120° C、130° D、140°

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9. 如图，正方形ABCD，点E为CD延长线上一点，以CE为边向右作正方形CEFG，连结AE，AG， EG.若要求出△AEG的面积，只需知道( )

A、AB的长 B、AG的长 C、AE的长 D、CG的长

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10. 如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角 $(∠ A B M)$ 的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角 $∠ E P G = 30 °$ ，则反射光束GH与天花板所形成的角 $(∠ P H G)$ 不可能取到的度数为（）

A、129° B、72° C、51° D、18°

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二、填空题

11. 如图，某民航飞机在起飞阶段，先从跑道水平加速滑行（ $A B$ 段），后抬头拉升飞行至 $C$ ，因仰角过大，系统软件自动启动“机动特性增强系统”压低机头，减少仰角到安全角度，然后攀升至 $E$ 后，开始水平巡航（EF段），已知 $∠ A B C = 150 ° ， ∠ C E F = 165 °$ ，则减少的仰角 $∠ D C E$ 的度数为．

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12. 如图两个正方形的边长分别为a和b，若 $a - b = 3$ ， $a b = 26$ ，那么阴影部分的面积是．

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13. 现有二组数：（1）4，6，8，10，12，14，…；（2）0，3，8，15，24，35，…；第（1）组数中从左到右第 $n$ 个数记为 $a_{n}$ ，第（2）组数中从左到右第 $n$ 个数记为 $b_{n}$ ，若 $a_{n} + b_{n} < 2024$ ，则 $n$ 的最大值是．

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14. 如图1，将长方形纸片裁成形状、大小都相同的八块直角三角形，用其中四块拼成如图2所示的大正方形，经测量，图1中长方形纸片的周长为32，面积为56.则图2最中间的小正方形的面积为.

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15. 如图1是一条长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，若图3中
CD//EG，则图1中∠DEF=.

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16. 图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为 $(2 a + b)$ 的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁前掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形ABCD和OPDQ分别是边长为 $a$ 和 $\frac{a}{2}$ 的正方形，中间处是边长为 $(b - a)$ 的正方形，图3阴影部分是由四块边长为 $a$ 的正方形和一块边长为 $b$ 的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是60，则未裁剪前大正方形红布的面积为．

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17. 如图，正方形ABCD和正方形EFGH分别由两张相同的长方形纸片无缝拼接而成，现将其摆放在桌面上，如图所示，重合部分为甲、乙、丙，其中乙为正方形，记甲、丙的面积分别为 $S_{甲}$ ， $S_{丙}$ ，若 $\frac{S_{甲}}{S_{丙}} = \frac{3}{5}$ ，且桌面被所有纸片覆盖区域的面积为 $276 {cm}^{2}$ ，则乙的面积为 ${cm}^{2}$ ．

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18. 如图，已知 $A B ∥ C D$ ，点E，F分别在直线 $A B$ ， $C D$ 上，点P在 $A B$ ， $C D$ 之间， $E F$ 的右侧，且 $∠ E P F = 60 °$ ．若将射线 $E A$ 沿直线 $E P$ 折叠得射线 $E A^{'}$ ，射线 $F C$ 沿直线 $F P$ 折叠得射线 $F C^{'}$ ， $E A^{'}$ 与 $F C^{'}$ 所在直线交于点H，则 $∠ E H F =$ ．

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三、解答题

19. 小能到某体育用品商店购物，他已选定了需购买的篮球和羽毛球拍的种类，若购买3个篮球和8副羽毛球拍共需416元；若购买6个篮球和1副羽毛球拍共需232元．

(1)、求每个篮球和每副羽毛球拍各需多少元？

(2)、“暑假”期间，该体育用品商店举行让利促销活动，篮球和羽毛球拍均以相同折扣进行销售，小能发现用256元购买篮球的个数比用480元购买羽毛球拍的副数少5．
①求商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行几折销售？
②小能决定在这次让利促销活动中同时购买篮球和羽毛球拍，最后扫码支付了281.6元，问他有几种购买方案，请说明理由．

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20. 定义：如果关于x，y的二元一次方程 $a x + b y = c$ （a，b，c为常数且 $a \neq 0$ ， $b \neq 0$ ）满足 $c = b + 1 = a + 2$ ，我们就称方程 $a x + b y = c$ 为“阶梯方程”。

(1)、下列方程是“阶梯方程”的是.
① $x - 2 y = - 3$ ② $2 x - 3 y = 4$ ③ $x + 2 y - 3 = 0$ ④ $\frac{1}{2} x + \frac{3}{2} y = \frac{5}{2}$

(2)、任意阶梯方程都有一组相同的解，请求出这组解.

(3)、若方程组 ${\begin{array}{l} a x + b y = c \\ x + 2 y = 1 \end{array}$ 的解为整数，求整数a的值.

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21. 定义：关于x， y的二元一次方程 ax+ by=c (abc≠0， a≠c) 中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的新方程叫做原方程的“友好方程”，例如：方程 ax+by=c的“友好方程”为 cx+ by=a.

(1)、求方程x+2y=3与它的“友好方程”组成的方程组的解；

(2)、已知关于x， y的二元一次方程 ax+ by=c的系数满足a+b+c=0，求方程 ax+ by=c与它的“友好方程”组成的方程组的解：

(3)、已知关于x，y的二元一次方程(3m-t)x+2025y=m+2t是(2+n)x+2025y=m-1的“友好方程”，求 $\frac{m}{n}$ 的值.

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22. 一副三角板按如图方式摆放，D在BC边上，AB//EF.

(1)、求∠CDE的度数.

(2)、如图2，点G，P分别在线段AC，BD上，连结GE，GP，PA.
①当GE⊥EF，GC平分∠EGP时，请说明GP//EF的理由.
②记∠PAB=a，∠APG=β，∠PGE=θ.若∠GED=∠GPD，求a，β，θ之间的数量关系.

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23. 近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实.一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况.

大无人机运输次数(单)
小无人机运输次数(单)
营收(元)
第一天
4
20
3600
第二天
8
28
5760

(1)、求大小两款无人机的单次运输价格；

(2)、正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣；

(3)、在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营a单，小无人机共运营b单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元.
①求a和b的数量关系；
②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？

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四、实践探究题

24. 小聪观察等式 $(3 a + b) (a + 2 b) = 3 a^{2} + 7 a b + 2 b^{2}$ （按 $a$ 降幂排序），发现如下规律：
①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和：
左边 $(3 + 1) \times (1 + 2) = 4 \times 3 = 12$ ，右边 $3 + 7 + 2 = 12$ ，左边=右边；
②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数：
左边 $3 \times 1 = 3$ ，右边为3，左边=右边：
左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数：
左边 $1 \times 2 = 2$ ，右边为2，左边=右边．

(1)、类比探究：
请通过展开计算 $(2 a - b) (- a + 2 b)$ ，判断规律（1）和规律（2）是否成立；（类比小聪的表述写出必要的过程）

(2)、基础应用：
请根据上述规律填空：
①若m，n为常数，则 $(a - b) (m a + n b)$ 的展开式中各项系数之和为__________；
②若t，r为常数，满足 $(t a - b) (a + r b) = 2 a^{2} - 7 a b + 3 b^{2}$ ，则 $t^{r} =$ __________；

(3)、拓展应用：
若p，q为常数，且 $(2 a - b) (a - p b) = 2 a^{2} + q a b - 2 b^{2}$ ，请用上述发现规律列方程（组）求p，q的值．

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25. 【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺 $E F G$ 和 $H M N$ （ $∠ G E F = ∠ M H N = 90 °$ ， $∠ M N H = 60 °$ ， $∠ H M N = 30 °$ ， $∠ E G F = ∠ E P G = 45 °$ ），已知 $A B ∥ C D$ ．如图①，把三角尺 $E F G$ 的直角顶点 $E$ 放在直线 $C D$ 上，把三角尺 $H M N$ 的直角顶点 $H$ 放在直线 $A B$ 上， $H M$ 经过点 $E$ ．
．
（1）若 $∠ G E M = 120 °$ ， $∠ D E F = 20 °$ ，求 $∠ A H N$ 的度数；
【操作探究】
（2）如图②，绕点 $H$ 逆时针旋转三角尺 $H M N$ ，恰好可以使得点 $G$ 与点 $N$ 重合，此时测得 $∠ F G M = 20 °$ ，请你说明 $∠ A H G$ 与 $∠ D E F$ 之间的数量关系；
【深度探究】
（3）在（1）的条件下，将三角尺 $G E F$ 绕 $E$ 点以每秒 $3 °$ 的速度按逆时针方向，同时将三角尺 $H M N$ 绕 $H$ 点以每秒 $2 °$ 的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为 $t$ （ $0 \leq t \leq 60$ ）．请直接写出当 $H N$ 与 $△ E G F$ 的一边平行时 $t$ 的值．

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	大无人机运输次数(单)	小无人机运输次数(单)	营收(元)
第一天	4	20	3600
第二天	8	28	5760