浙教版七年级下册数学期末综合复习--压轴题2

试卷更新日期：2026-05-26 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如图，边长为 $a$ 的大正方形剪去4个边长为 $x$ 的小正方形，做成一个无盖纸盒．若无盖纸盒的底面积与表面积之比为 $2 : 5$ ，则根据题意可知 $a$ ， $x$ 满足的关系式为（）

A、 $\frac{a + 2 x}{a - 2 x} = \frac{2}{5}$ B、 $\frac{a - 2 x}{a + 2 x} = \frac{2}{5}$ C、 $\frac{a + x}{a - x} = \frac{2}{5}$ D、 $\frac{a - x}{a + x} = \frac{2}{5}$

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2. 如图，在边长为 $a$ 的正方形 $E F G H$ 四周分别放置四个边长为 $b$ 的小正方形，构造了一个大正方形 $A B C D$ ，并画出阴影部分图形．现将阴影部分图形面积记作 $S_{1}$ ，每一个边长为 $b$ 的小正方形面积记作 $S_{2}$ ，若 $S_{1} = 4 S_{2}$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{4}{7}$

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3. 中华人民共和国2019-2024年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示.
（以上数据引自《中华人民共和国2024年国民经济和社会发展统计公报》）
根据以上信息，下列四个说法正确的是（　　）

A、从2019到2024年，全国居民人均可支配收入增长超过12000元 B、从2021年到2022年全国居民人均可支配收入下降了 C、2019-2024年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年 D、2019-2024年这6年中，2021年全国居民人均可支配收入增长速度最快，所以2021年全国居民人均可支配收入最高

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4. 如图放置的两个正方形， $B ， F ， G ， C$ 四点在同一条直线上，且 $B F = C G$ ．若已知图中阴影部分的面积，下列各式的值，一定能求出的是（　　）

A、 $B F \cdot B G$ B、 $B F \cdot C G$ C、 $F G \cdot C G$ D、 $B C \cdot F G$

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5. 如图，点E，F分别为长方形ABCD的边AD、BC上的点，将该长方形纸片沿EF折叠，使点B，A的对应点分别是点B'，A'，B'，折后B'F与AD相交于点G.若 $B F ⊥ E C$ 的度数为1：2两部分，则 $∠ B^{'} F^{'} C$ 的度数为（）

A、 $3 6^{°}$ B、 $4 5^{°}$ C、 $3 6^{°}$ 或 $7 2^{°}$ D、 $3 6^{°}$ 或 $9 0^{°}$

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6. 现有A，B，C三种型号的正方形和长方形纸片若干张，大小如图所示.从中取出部分纸片进行无重叠拼接，拼成一个长和宽分别为16和7的新长方形，在各种拼法中，B型纸片需要的张数最多为（）

A、4张 B、5张 C、8张 D、9张

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7. 关于 $x$ 的代数式 $3 x^{2} + m x - 8$ 分解因式得 $(x - 2) (n x + 4)$ ，则 $n^{m}$ 的值为（）

A、3 B、9 C、 $\frac{1}{9}$ D、 $- 2$

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8. 欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋个数不同，卖得的钱却相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果我有你的鸡蛋个数，我的单价不变，可以卖得15个铜板.”乙农妇回答道：“如果我有你的鸡蛋个数，我的单价不变，我就只能卖得 $\frac{20}{3}$ 个铜板.”问两人各有多少个鸡蛋?设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程( )

A、 $\frac{15 x}{100 - x} = \frac{20 (100 - x)}{3 x}$ B、 $\frac{15}{100 - x} = \frac{20}{3 x}$ C、 $\frac{20 x}{3 (100 - x)} = \frac{15 (100 - x)}{x}$ D、 $\frac{15 x}{100 - x} = \frac{3 x}{20 (100 - x)}$

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二、填空题

9. 已知关于 $x$ ， $y$ 的方程组 $\{\begin{matrix} x + y = 3 m \\ 2 x - y = 6 n \end{matrix}$ （ $m$ ， $n$ 为实数）的解满足 $2 x + 3 y = 0$ ，则 $\frac{m}{n} =$

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10. 当 $x$ 分别取 $2025 ， 2024 ， 2023 \dots ， 2 ， 1 ， 0 ， 1 ， \frac{1}{2} ， \frac{1}{3} ， \dots ， \frac{1}{2023} ， \frac{1}{2024} ， \frac{1}{2025}$ 时，计算分式 $\frac{x - 1}{x + 1}$ 的值，并把所有结果相加，其和为．

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11. 如图，在一次数学实践活动课中某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为 $A B ， C D$ ．若 $C D ∥ B F$ ，且 $C E ⊥ D F$ ，则 $∠ A B F$ 的大小为．

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12. 某河道绿化工程由甲、乙两工程队合作完成．已知甲工程队每天完成 $a$ 米，共完成了 $s$ 米，用时 $m_{1}$ 天：乙工程队每天完成 $b$ 米，共完成了 $2 s$ 米，用时 $m_{2}$ 天．若 $m_{1} + m_{2} = 30$ ，则 $s =$ ．（用含 $a$ ， $b$ 的最简分式表示）

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13. 已知 $m + 3 - \frac{2}{m} = 0$ ，则 $m^{2} + \frac{4}{m^{2}}$ 的值为.

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14. 如图，已知 $A B ∥ C D$ ，点G在直线AB上，点F在直线CD上，连结EF，点E是射线FD上一点(不与F，G重合)，过点G作 $G H ∥ E F$ 线段EF于点H，且 $∠ A E F : ∠ H G F = 1 : 2$ .

(1)、 $∠ A E F$ 的度数为..

(2)、已知点P，Q在直线AB，CD之间，点M在射线EA上，连结PQ，PM，MQ，使线段PQ经过点H.若 $∠ M P Q = 9 0^{°}$ ， $∠ G H Q = 4 2^{°}$ ，则 $∠ A M P$ 的度数为..

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15. 把四张完全相同的阴影长方形纸片和两本完全相同的长方形课本按如图方式摆放.根据图中标注尺寸，可得阴影长方形纸片的长与宽之差为.(结果用含a，b的代数式表示)

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16. 已知实数x，y，a满足 $x + a^{2} = 2025 ， y + a^{2} = 2026 ，$ 且 xy=4，则代数式 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的值是.

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三、解答题

17. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，小玉同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位 $h (cm)$ 随着时间 $t (min)$ 的改变而改变．它的水位可用公式 $h = p t + q$ 计算．已测得当 $t = 1 (min)$ 时，水位 $h = 1.1 (cm)$ ；当 $t = 5 (min)$ 时，水位 $h = 2.7 (cm)$ ．

(1)、求 $p$ ， $q$ 的值；

(2)、当水位 $h = 4.7 (cm)$ 时，求时间 $t (min)$ 的值．

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18. 我们定义两种运算“ $\oplus$ ”和“ $⊙$ ”，对于任意两个数 $a$ ， $b$ ，有 $a \oplus b = a^{2} + b^{2}$ ， $a ⊙ b = 2 a b$ ．

(1)、因式分解： $(a \oplus b) - (a ⊙ b) =$ ________；

(2)、若 $\frac{a \oplus b}{a ⊙ b} = 1$ ，求 $\frac{3 a^{2} - 2 a b + 3 b^{2}}{a^{2} + a b + b^{2}}$ 的值；

(3)、若 $(a \oplus b) ⊙ 2 = a \oplus (b ⊙ 2)$ ，求 $a$ ， $b$ 之间满足的数量关系．

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19. 如图1，两张边长分别为 $a, b (a > b)$ 的正方形纸片 $A, B$ ．

(1)、如图2，将 $A, B$ 两张纸片放置于一个大正方形的纸片中（无重叠），若大正方形的纸片边长为10，阴影部分面积为35．
①求 $A, B$ 两张纸片的面积和 $a^{2} + b^{2}$ ；
②求 $A, B$ 两张纸片的边长差 $a - b$ ；

(2)、如图3，将 $A, B$ 两张纸片放置于一个大正方形的纸片中，若已知 $A, B$ 两张纸片的边长差为2， $A, B$ 两张纸片的面积和为20，求阴影部分的面积．

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20. 如图，已知 $M N ∥ P Q$ ，小楚将一块直角三角板 $A B C$ 的点 $A$ 放置在直线 $P Q$ 上，点 $B$ 在直线 $P Q$ 与直线 $M N$ 之间，边 $A C$ 与直线 $M N$ 相交于点 $D$ ，边 $B C$ 与直线 $M N$ 相交于点 $E$ ，其中 $∠ C A B = 90 ° ， ∠ B = 60 °$ ．

(1)、若 $∠ C D M = 68 °$ ，求 $∠ B A Q$ 的度数；

(2)、旋转三角板，并保持本题主干部分的所有条件不变．
①当 $∠ B A Q = ∠ N E B$ 时，求 $∠ D A P$ 的度数；
②说明 $∠ D A P$ 与 $∠ N E B$ 的差是定值．

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21. 某商家推出三款纪念品 $A$ ， $B$ ， $C$ ，其中 $C$ 的单价比 $B$ 贵2元/件．如果买10件 $A$ ， $15$ 件 $B$ ， $5$ 件 $C$ ，总价格为520元；如果买15件 $A$ ， $10$ 件 $B$ ， $5$ 件 $C$ ，总价格为505元．设纪念品 $A$ 的单价为 $x$ 元/件，纪念品 $B$ 的单价为 $y$ 元/件．

(1)、求 $x$ 和 $y$ 的值；

(2)、商家将 $A$ ， $B$ 各取1件组成套装 $M$ ，将 $B$ ， $C$ 各取1件组成套装 $N$ ，均以两种相应纪念品的单价之和作为套装定价．为促进销售，对两款套装实施优惠政策，套装定价都下调 $t$ 元．此时用200元购买到 $M$ 的套数，与240元购买到 $N$ 的套数一样多，且钱均无剩余，求 $t$ 的值．

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22. 已知三角板 $A B C$ 与 $D E F$ ， $∠ B = ∠ C = 45 °$ ， $∠ D E F = 60 °$ ， $∠ D F E = 30 °$ ，将它们按下列要求放置．

(1)、如图1，当 $A E$ 平分 $∠ B A C$ 时，求证： $B C ∥ A F$ ；

(2)、如图2所示，若 $E F ∥ B C$ ，求 $∠ E A B$ 的度数

(3)、如图3，将三角板 $D E F$ 固定不动， $∠ E F D$ 的角平分线 $F G$ 交 $D E$ 于点 $G$ ，改变另一个三角板 $A B C$ 的位置，顶点 $A$ 与顶点 $E$ 始终保持重合，旋转三角板 $A B C$ ，当 $B C$ 与 $F G$ 平行时，求 $∠ F E B$ 的度数．（ $∠ F E B$ 度数不大于 $180 °$ ）．

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23. 随着新能源汽车市场的迅速发展，市场对电池的需求也逐渐增大，某电池生产企业承接了生产58000组汽车电池的任务让甲、乙两个车间的工人来完成.若甲车间工人每人每天平均生产15组电池，乙车间工人每人每天平均生产20组电池，则需40天时间完成；若甲、乙车间工人每人每天平均都生产25组电池，则只需29天时间完成.

(1)、求甲、乙两个车间参与生产的工人数.

(2)、根据实际生产需要，该企业设计了如下两种具体生产方案：

	甲车间	乙车间	新增费用
方案一	每人每天平均生产15组电池	租用先进设备，工作效率在每人每天平均生产20组电池的基础上提高了55%	租用设备费用为每天1200元，租用期间的来回运输费共1400元
方案二	从其他部门调配若干名工人到甲车间后，每人每天平均生产28组电池	每人每天平均生产24组电池	调配过来的工人每人每月需要支付费用150元

若方案一比方案二多用了4天时间完成，请问：从新增费用的角度考虑，选择哪种方案更节省开支？请说明理由.

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24. 如图1，点F在线段AB上，点E在线段CD上， ∠1+∠2=180°， ∠A=∠D.

(1)、请说明AB∥CD；

(2)、如图2，连结EF，若∠AEF=20°， ∠D=70°，判断EF与AB的位置关系并说明理由.

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25. 如图，某工厂与A，B两地有公路和铁路相连.这家工厂从A地购买原料运回工厂，制成产品运到B地.已知公路的运价为a元/(吨·km)，铁路的运价为b元/(吨·km).

(1)、设一批原料有x吨，生产成的产品有y吨，填写下表(结果用含a，b，x，y的代数式表示)：
A地
B地
公路运费(元)
10ax
铁路运费(元)

(2)、第一批货购买了500吨原料，生产了300吨产品，原料从A地运回工厂运费67500元，制成产品运到B 地运费39000元.求a， b的值.

(3)、工厂从A 地购买原料的单价为每吨1000元，产品售往B地的价格为每吨8000元.因需要需增补第二批货物，已知第二批货物的销售款比原料费多260000元，运输单价与第一批货物相同，运输总费用为13300元，问第二批货物的原料是多少吨?与第一批货物从原料到产品的成品率相比，成品率是提高了还是降低了?

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26. 请根据以下材料，探索完成任务.

教材母题
素材1	浙教版七年级下册数学教材第23页有一例题，如右图，小明和小芳发现，通过计算两条角平分线(AP与CP) 的夹角 (∠P) 也可判断两条直线是否平行.	例4 如图，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD.∠1+∠2=90°.判断AB，CD是否平行，并说明理由. 解： AB∥CD.理由如下：如图，由已知AP平分. $∠ B A C ，$ CP平分∠ACD，根据角平分线的意义，知 $∠ 1 = \frac{1}{2} ∠ B A C ， ∠ 2 = \frac{1}{2} ∠ A C D ，$ 所以 $∠ B A C + ∠ A C D = 2 (∠ 1 + ∠ 2) = 2 \times 90 ° = 180 ° .$ 根据“同旁内角互补，两直线平行”，得 $A B ‖ C D$ .
类比探究
素材2	小明和小芳思考：角的其它等分线夹角度数与两直线平行之间是否存在联系? 已知线段MN夹在直线AB与直线CD之间，其中点M在直线AB上，点N在直线CD上. 小明的做法：如图1，在线段MN的左侧分别作∠AMN的三等分线ME和MF，作∠CNM的三等分线NE和NF，其中ME和NE交于点E， MF和NF交于点F. 小芳的做法：如图2，在线段MN的两侧分别作∠AMN和∠MND的三等分线，使 $∠ A M E = \frac{1}{3} ∠ A M N ， ∠ E N C = \frac{2}{3} ∠ M N C ， ∠ B M F = \frac{2}{3} ∠ B M N ， ∠ F N D = \frac{1}{3} ∠ M N D \cdot$
深化探究
素材3	小明和小芳继续思考：当线段MN变为折线时，是否可以利用平行条件求某些角度关系呢? 已知AB∥CD， M， N分别为直线AB， CD上的点，线段EF在平行线AB， CD之间，点P为线段EF上的一个动点，连结ME， NF， MP， NP，使∠AME=2∠EMP，∠DNF=2∠FNP，记∠MPN=α. 如图3和图4分别为小明和小芳根据题意画出的两个图形.
问题解决
⑴任务1	素材1的例题中，当∠P= ▲度时， AB∥CD.
⑵任务2	请你猜想素材2中，当∠E和∠F满足怎样的数量关系时AB∥CD?并选择其中一种做法说明理由.
⑶任务3	请你根据素材3中小明和小芳画出的两个图形，直接写出∠F-∠E的值.(用含α的式子表示)

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	A地	B地
公路运费(元)	10ax
铁路运费(元)