浙教版七年级下册数学期末综合复习--压轴题1

试卷更新日期：2026-05-26 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 有研究显示，中学生每日食物摄取量应保持均衡，才能更好地生长发育．若用扇形统计图表示图中 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 各类食物摄取量所占的比例，则表示食物 $B$ 的圆心角度数为（）

A、 $38 °$ B、 $62 °$ C、 $100 °$ D、 $154 °$

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2. 如图1，已知长方形纸片 $A B C D$ ，将纸片沿 $E F$ 折叠，点 $A, B$ 分别落在点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ 的位置， $A^{'} B^{'}$ 与 $A D$ 交于点 $G$ ，再沿 $E G$ 折叠成图2，若 $∠ B^{'} F C = 36 °$ ，则 $∠ A^{″} E F =$ （）

A、 $18 °$ B、 $36 °$ C、 $54 °$ D、 $72 °$

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3. 我国古代数学名著 $《$ 九章算术 $》$ 中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟．译为白话文是：把一份文件用慢马送到 $900$ 里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少 $3$ 天．已知快马的速度是慢马的 $2$ 倍．设未知数 $x$ ， $y$ ，依题意列出一个方程 $y (x + 1) = 2 y (x - 3)$ ，则用一个未知数列出方程正确的是（）

A、 $\frac{900}{x + 1} = \frac{1800}{x - 3}$ B、 $\frac{1800}{x - 1} = \frac{900}{x + 3}$ C、 $\frac{900}{y} + 1 = \frac{900}{2 y} - 3$ D、 $\frac{900}{2 y} + 3 = \frac{900}{y} - 1$

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4. 若关于x的分式方程 $\frac{m}{x - 4} + \frac{x + 2}{4 - x} = 0$ 无解，则m的值为（）.

A、6 B、5 C、4 D、3

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5. 若x取正整数，则代数式 $x^{3} - x$ 的值可以是（）.

A、2181 B、2182 C、2183 D、2184

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6. 已知关于 $x$ 的二次三项式 $x^{2} + x + a$ 能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是 $x - 2$ ，则另一个一次多项式是（）

A、 $x - 1$ B、 $x + 1$ C、 $x - 3$ D、 $x + 3$

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7. 我国古代数学名著《九章算术》中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日.疾马日速倍迟.译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍.设未知数x，y，依题意列出一个方程 $y (x + 1) = 2 y (x - 3)$ ，则用一个未知数列出方程正确的是（）

A、 $\frac{900}{x + 1} = \frac{1800}{x - 3}$ B、 $\frac{1800}{x - 1} = \frac{900}{x + 3}$ C、 $\frac{900}{y} + 1 = \frac{900}{2 y} - 3$ D、 $\frac{900}{2 y} + 3 = \frac{900}{y} - 1$

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二、填空题

8. 若 $x^{2} - x y = 9 - a$ ， $y^{2} - x y = 27 + a$ ．则 $y - x =$ ．

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9. 如图，已知 $A B ∥ C D$ ，点 $Q$ 为射线 $C D$ 外一点， $A H$ 平分 $∠ Q A B$ ， $C H$ 交 $A H$ 于点 $H$ ．若 $∠ Q C H : ∠ H C D = 2 : 3$ ， $∠ H C D = 30 °$ ， $∠ A H C = 25 °$ ，则 $∠ A Q C =$ $°$ ．

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10. 生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等 $.$ 为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式 $x^{3} - 9 x$ 分解结果为 $x (x + 3) (x - 3) .$ 当 $x = 20$ 时， $x + 3 = 23$ ， $x - 3 = 17$ ，此时可得到数字密码 $202317 .$ 将多项式 $x^{3} + m x^{2} + n x$ 因式分解后，利用题目中所示的方法，当 $x = 12$ 时可以得到密码 $121415$ ，则 $m n =$ ．

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11. 在一个边长为 $4$ 的正方形内放置两个形状和大小相同的长方形，若两个长方形重叠部分的面积为 $S_{1}$ ，正方形内未被两个长方形盖住部分的面积之和为 $S_{2}$ （阴影部分的面积之和），若 $S_{1} = 2 S_{2}$ ，则被放置的长方形的周长是．

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12. 若多项式 $a x^{2} - 6 x + 3$ 有一个因式为 $(x - 1)$ ，则 $a$ 的值为．

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13. 如图，将一条两边沿互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为 $C D$ ， $F H$ ．若 $A E ∥ F H$ ， $∠ 1 = n ∠ 2$ ，则 $∠ F G D$ 的度数为．（用含 $n$ 的代数式表示）

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14. 生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等，为方便记忆，有一种用“因式分
解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式x³-9x分解
结果为x（x+3)（x-3).当x=20时，x+3=23，x-3=17，此时可得到数字密码202317.将多项式x³+mx²+nx因式分解后，利用题目中所示的方法，当x=12时可以得到数字密码121415，则mn=.

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三、解答题

15. 某地积极推进实施垃圾分类投放的举措．居民需要将垃圾分为“可回收垃圾”“易腐垃圾”“有害垃圾”“其他垃圾”四类进行分类投放．某小区为了鼓励小区居民积极参与垃圾分类，决定设立垃圾正确投放积分奖励机制．规则如下表：
垃圾类别
可回收垃圾
易腐垃圾
有害垃圾
其他垃圾
每公斤获得积分（分）
$a$
$b$
$100$
$0$
积分可以兑换部分商品，具体细则如下表：
物品
垃圾袋/卷
5元话费券/张
水果店打折券/张
小区临时停车券/张
积分数
$800$
$1500$
$2000$
$1000$
已知 $2$ 公斤可回收垃圾和 $1.5$ 公斤易腐垃圾可以获得 $130$ 积分； $2.5$ 公斤可回收垃圾和 $2$ 公斤易腐垃圾可获得 $165$ 积分．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值．

(2)、小敏家一季度共有 $46$ 公斤可回收垃圾， $100$ 公斤易腐垃圾， $1$ 公斤有害垃圾．小敏妈妈决定将这一季度获得的所有积分都兑换成“垃圾袋”和“小区临时停车券”这两类物品，请你运用所学的数学知识推理得到具体的兑换方案．

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16. 【问题提出】已知多项式 $2 x^{3} - x^{2} + m$ 有一个因式为 $2 x + 1$ ，求 $m$ 的值．
【问题解决】小敏经过思考，提供两种解决思路．
思路一：设 $2 x^{3} - x^{2} + m = (2 x + 1) (x^{2} + a x + b)$ ，
则 $2 x^{3} - x^{2} + m = 2 x^{3} + (2 a + 1) x^{2} + (a + 2 b) x + b$ ，
比较系数得 $\{\begin{matrix} 2 a + 1 = - 1 \\ a + 2 b = 0 \\ b = m \end{matrix}$ ，
解得 $\{\begin{matrix} a = - 1 \\ b = \frac{1}{2} \\ m = \frac{1}{2} \end{matrix}$ ，
$∴ m = \frac{1}{2}$ ．
思路二：设 $2 x^{3} - x^{2} + m = A \cdot (2 x + 1)$ （ $A$ 为一个整式），
由于上式是一个恒等式，为方便计算，我们不妨取 $x = - \frac{1}{2}$ ，
代入可得： $2 \times {(- \frac{1}{2})}^{3} - {(- \frac{1}{2})}^{2} + m = 0$ ，故 $m = \frac{1}{2}$ ．
【模仿运用】已知多项式 $2 x^{2} + m x + n$ 可因式分解为 $(2 x + 1) (x - 3)$ ，求 $m$ 和 $n$ 的值．
【迁移解决】已知多项式 $x^{4} - m x^{3} + 2 n x - 16$ 有两个因式分别是 $(x - 1)$ 和 $(x - 2)$ ，求 $m$ 和 $n$ 的值．

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17. 已知 $a^{2} + b^{2} = 12$ ， $a - b = 3$ ，分别求 $a b$ 和 $a + b$ 的值．

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18. 用如图（1）中的长方形和正方形木板作侧面和底面，做如图（2）的无盖竖式和有盖横式两种木箱，现在仓库里有 $a$ 块正方形木板和 $b$ 块长方形木板．

(1)、当 $a = 600$ ， $b = 2000$ ，恰好将库存木板用完，则两种木箱各做了多少个？

(2)、当 $a = 100$ 时，且 $395 < b < 405$ ，恰好要将库存木板用完，求整数 $b$ 的值．

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19. 商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为 $a$ 元 $/$ 千克， $B$ 种糖的单价为 $b$ 元 $/$ 千克，且 $a \neq b$ ．则 $m$ 千克A种糖和 $n$ 千克 $B$ 种糖混合而成的什锦糖的单价为 $\frac{m a + n b}{m + n}$ （元 $/$ 千克）．把质量相同的A种糖和 $B$ 种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为 $W_{甲}$ ）；把总价相同的A种糖和 $B$ 种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为 $W_{乙}$ ）．请解决以下问题：

(1)、分别求出 $W_{甲}$ ， $W_{乙}$ （可用含有 $a$ ， $b$ 的代数式表示）；

(2)、你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？

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20. 定义一种对应关系： $Δ (x) = x - \frac{1}{x} + 1$ ，如 $Δ (2) = 2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{2}$ ， $Δ (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2 + 1 = - \frac{1}{2}$ ．
解答下列问题：

(1)、求 $Δ (2) + Δ (\frac{1}{2})$ 的值．

(2)、写出 $Δ (x)$ 与 $Δ (\frac{1}{x})$ 之间的数量关系，并说明理由．

(3)、求 $Δ (\frac{1}{2025}) + Δ (\frac{1}{2024}) + \dots + Δ (\frac{1}{2}) + Δ (1) + Δ (2) + \dots + Δ (2024) + Δ (2025)$ 的值．

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21. 现有甲、乙、丙三种糖混合而成的糖50千克，其中各种糖的质量和单价如下表．
品类
甲种糖
乙种糖
丙种糖
质量/千克
$x$
$y$
20
单价/（元/千克）
35
30
25
已知乙种糖的质量是甲种糖的质量的2倍，且商店以糖的平均价（平均价=混合糖的总价格 $\div$ 混合糖的总质量）作为混合糖的单价．

(1)、求表中 $x$ ， $y$ 的值．

(2)、要使混合糖的单价每千克降低2元，需加入甲、乙、丙三种糖中的哪一种糖？加入多少千克？

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22. 如图1，用四个相同的面积均为3的长方形①②③④和一个小正方形⑤拼成一个大正方形，其中长方形的长为 $a$ ，宽为 $b (a > 2 b)$ ．

(1)、如图1，用含 $a$ ， $b$ 的代数式表示小正方形⑤的面积．

(2)、借助图1，请直接写出代数式 ${(a + b)}^{2}$ ， $a b$ ， ${(a - b)}^{2}$ 之间的数量关系．

(3)、现将图1中①号和②号小长方形纸片同时向下平移 $b$ 个长度，得到一个新的图形如图2所示，若阴影部分图形 $I$ ， $II$ ， Ⅲ的面积和为12，求代数式 $a - 2 b$ 的值．

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23. 用如图（1）中的长方形和正方形木板作侧面和底面，做如图（2）的无善竖式和有盖横式两种木箱，现在仓库里有a块正方形木板和b块长方形木板，

(1)、当a=600，b=2000，恰好将库存木板用完，则两种木箱各做了多少个？

(2)、当a=100时，且395<b<405，恰好要将库存木板用完，求整数b的值.

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24. 商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/千克，B种糖的单价为b元/千克，且 $a \neq b$ .则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为 $\frac{m a + n b}{m + n}$ （元/千克）.把质量相同的A种糖和B种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为 $W_{甲}$ ）；把总价相同的A种糖和B种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为 $W_{乙}$ ）.请解决以下问题：

(1)、分别求出 $W_{甲}$ ， $W_{乙}$ （可用含有a，b的代数式表示）；

(2)、你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？

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四、综合题

25. 将分别含有 $30 °$ 和 $45 °$ 角的两块直角三角板的最长边部分重叠地摆放在一起，边 $B C$ 在直线 $G H$ 上，点 $A$ 在直线 $M N$ 上，且 $M N ∥ G H$ ， $D F$ 与 $G H$ 交于点 $P$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $∠ E D F = 45 °$ ．

(1)、填空：如图1， $∠ D P B =$ _____ $°$ ．

(2)、如图2，将直角三角板 $D E F$ 沿射线 $B A$ 方向平移，当点 $F$ 恰好落在直线 $M N$ 上时，求 $∠ E F N$ 的度数．

(3)、如图3，将直角三角板 $D E F$ 沿射线 $B A$ 方向平移到 $△ B F^{'} E^{'}$ 的位置，若点 $B$ 是 $D E$ 的中点，且 $D E^{'} = 9 cm$ ，求平移的距离．

(4)、将直角三角板 $D E F$ 沿直线 $A B$ 平移，在平移过程中，始终保持两直角三角板的直角顶点在直线 $A B$ 的两侧，则当以 $A$ ， $D$ ， $F$ 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出 $∠ M A F$ 的度数．

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垃圾类别	可回收垃圾	易腐垃圾	有害垃圾	其他垃圾
每公斤获得积分（分）	$a$	$b$	$100$	$0$

物品	垃圾袋/卷	5元话费券/张	水果店打折券/张	小区临时停车券/张
积分数	$800$	$1500$	$2000$	$1000$

品类	甲种糖	乙种糖	丙种糖
质量/千克	$x$	$y$	20
单价/（元/千克）	35	30	25