浙教版七年级下册数学期末专项复习题--第4-6章

试卷更新日期：2026-05-26 类型：期末考试

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一、选择题

1. 下列调查中，适合全面调查的是（　　）

A、某班一周各科作业的布置情况 B、本市中学生对父亲节的了解情况 C、京杭大运河的水质情况 D、一批日光灯的使用寿命

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2. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )

A、 $(x + 2) (x - 2) = x^{2} - 4$ B、 $x^{2} + 2 x - 1 = {(x + 1)}^{2} - 2$ C、 $x^{2} - 4 + 3 x = (x + 2) (x - 2) + 3 x$ D、 $x^{2} - 9 = (x + 3) (x - 3)$

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3. 将 $x 、 y$ 的值均扩大为原来的2倍，下列分式的值不变的是（　　）

A、 $\frac{2 y^{2}}{{(x - y)}^{2}}$ B、 $\frac{2 y}{x^{2}}$ C、 $\frac{9 y^{2}}{4 x^{3}}$ D、 $\frac{3 + x}{x - 2 y}$

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4. 若多项式 $2 x^{2} + k x - 24$ 因式分解后的结果是 $(a x + 3) (x - 8)$ ，则 $k$ 的值是（　　）

A、10 B、 $- 12$ C、 $- 13$ D、13

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5. 某校统计了100名学生的身高数据并分成6组，如下表：
组号
1
2
3
4
5
6
频数
20
19
17
18
14
则第4组数据的频率为（　　）

A、0.15 B、0.13 C、0.12 D、0.18

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6. 把分式 $\frac{5}{a}$ 分子加10，要使分式的值不变，分母应该加上（）

A、5 B、10 C、 $a$ D、 $2 a$

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7. 国家近年来出台了一系列加强中学生体育锻炼的措施，某校在七年级举办了趣味体育活动，其中一项活动是比较参赛选手1分钟内将乒乓球用球拍颠到指定高度的次数．小明负责记录，并将其绘制成如图所示的频数分布直方图．请问颠球次数在 $15 ~ 20$ 的人数占总参赛人数的百分比是（）

A、 $40 %$ B、 $30 %$ C、 $20 %$ D、 $10 %$

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8. 已知（2x-8）（3x-4）-（3x-4）（x-13）可分解因式为（3x+a）（x+b），则a+2b的值是（）

A、1 B、6 C、7 D、8

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9. 为解决供水问题需铺设一条长2400米的管道，实际施工时……．设实际每天铺设管道 $x$ 米，可得方程 $\frac{2400}{x - 20} - \frac{2400}{x} = 6$ ．根据此情景，题中用“……”表示的缺失条件为（）．

A、每天比原计划少铺设20米，结果延期6天完成 B、每天比原计划多铺设20米，结果提前6天完成 C、每天比原计划少铺设6米，结果延期20天完成 D、每天比原计划多铺设6米，结果提前20天完成

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10. 已知三个数 $a ， b ， c$ 满足 $\frac{a b}{a + b} = \frac{1}{5}$ ， $\frac{b c}{b + c} = \frac{1}{6}$ ， $\frac{c a}{c + a} = \frac{1}{7}$ ，则 $\frac{a b c}{a b + b c + c a}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{2}{15}$ D、 $\frac{1}{20}$

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二、填空题

11. 一个样本数据为： $8 ． 8, 8 ． 9, 8 ． 8, 8 ． 1, 8 ． 9, 8 ． 7, 8 ． 8, 9 ． 4, 8 ． 7, 8 ． 8$ ，其中属于 $8 ． 55 \sim 8 ． 75$ 这一组的频率为．

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12. 若分式 $\frac{x + 1}{x + 2}$ 的值为0，则x的值为.

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13. 将容量为 100 的样本分成 3 个组，第一组的频数是 30 ，第二组的频率是 0.4 ，那么第三组的频率是。

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14. 若多项式 $x^{2} + m x + 1$ 是一个完全平方式，则m的值为.

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15. 若关于x的分式方程 $\frac{m}{x^{2} - 9} + \frac{2}{x + 3} = \frac{1}{x - 3}$ 有增根 $x = 3$ ，则m的值是.

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16. 将多项式 $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 变形为 $a {(x + m)}^{2} + n$ 的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如： $x^{2} - 4 x - 5 = x^{2} - 4 x + 2^{2} - 2^{2} - 5 = {(x - 2)}^{2} - 9$ ，
$∵$ ${(x - 2)}^{2} \geq 0$ ， $∴$ ${(x - 2)}^{2} - 9 \geq - 9$ ， $∴$ 当 $x = 2$ 时，多项式 $x^{2} - 4 x - 5$ 有最小值 $- 9$ ．
已知 $a$ ， $b$ 为实数，多项式 $(x + 3) (3 x + a)$ 展开后 $x$ 的一次项系数为 $m$ ，多项式 $(3 x + 2) (x + b)$ 展开后 $x$ 的一次项系数为 $n$ ，且 $m$ ， $n$ 均为正整数，则当 $m + n = 17$ 时， $a b$ 的最大值为．

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三、解答题

17. 因式分解：

(1)、 $a^{3} - a$ ．

(2)、 $x^{2} - 4 x y + 4 y^{2}$ ．

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18. 先化简，再求值： $2 b^{2} + (a + b) (a - b) - {(a - b)}^{2}$ ，其中 $a = - 3$ ， $b = \frac{1}{2}$ .

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19. （1）计算： $\frac{2 a}{a^{2} - 4} - \frac{1}{a - 2}$ ；
（2）因式分解： $2 x^{2} - 4 x + 2$ ．

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20. 小红计算 $\frac{2 x}{x - 2} + \frac{3 - x}{2 - x}$ 和小明解方程 $\frac{2 x}{x - 2} + \frac{3 - x}{2 - x} = 1$ 的过程如下：
小红计算： $\frac{2 x}{x - 2} + \frac{3 - x}{2 - x}$
解：原式 $= 2 x - 3 - x$
$= x - 3$ ．
小明解方程： $\frac{2 x}{x - 2} + \frac{3 - x}{2 - x} = 1$
解：方程两边同乘 $(x - 2)$
得 $2 x - (3 - x) = x - 2$
化简得 $x = \frac{1}{2}$
经检验， $x = \frac{1}{2}$ 是原方程的解．

(1)、在上述两位同学的解答中，有一位同学有错误，这位同学是（填写“小红”或“小明”)；

(2)、请你写出正确的解答过程．

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21. 某校七年级在实施数学作业分层布置方案前，对学生某次考试的数学成绩进行了随机抽样调查，并将获得的 $60$ 名学生的数学成绩（单位：分）绘制成不完整的频数分布直方图，数据分为 $5$ 组， $A$ ： $50 \leq x < 60$ ， $B$ ： $60 \leq x < 70$ ， $C$ ： $70 \leq x < 80$ ， $D$ ： $80 \leq x < 90$ ， $E$ ： $90 \leq x \leq 100$ ．

(1)、请补全频数分布直方图；

(2)、本次考试的数学成绩在______组的学生最多，求出该组学生占总人数的百分比；

(3)、为给学生分层布置作业，需要确定一个分层标准，将本次考试的数学成绩为 $m < x \leq 100$ 的学生认定为优秀学生，已知抽样结果中， $D$ 组的 $11$ 名学生的成绩依次为： $80$ ， $80$ ， $82$ ， $82$ ， $83$ ， $83$ ， $85$ ， $86$ ， $87$ ， $88$ ， $89$ ．若要将占总人数 $15 %$ 的学生认定为优秀学生，请写出一个合理的 $m$ 的值，并说明理由．

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22. 小伟同学的错题本上有一题练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母Ｍ和Ｎ表示），污染后的习题如下：
$(30 x^{4} y^{2} + M + 12 x^{2} y^{2}) \div (- 6 x^{2} y) = N + 3 x y - 2 y .$

(1)、请你帮小伟复原被污染的Ｍ和Ｎ处的代数式，并写出练习题的正确答案；

(2)、爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式ｘ²ｙ＋ｘｙ＋ｙ相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由．

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23. 现有甲、乙、丙三种糖混合而成的糖50千克，其中各种糖的质量和单价如下表．
品类
甲种糖
乙种糖
丙种糖
质量/千克
$x$
$y$
20
单价/（元/千克）
35
30
25
已知乙种糖的质量是甲种糖的质量的2倍，且商店以糖的平均价（平均价=混合糖的总价格 $\div$ 混合糖的总质量）作为混合糖的单价．

(1)、求表中 $x$ ， $y$ 的值．

(2)、要使混合糖的单价每千克降低2元，需加入甲、乙、丙三种糖中的哪一种糖？加入多少千克？

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24. 对于二次三项式a²+6a+9，可以用公式法将它分解成（a+3）²的形式，但对于二次三项式a²+6a+8，就不能直接应用完全平方式了，我们可以在二次三项式中先加上一项9，使其成为完全平方式，再减去9这项，使整个式子的值保持不变，于是有：a²+6a+8＝a²+6a+9﹣9+8＝（a+3）²﹣1＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2），请仿照上面的做法，将下列各式因式分解：

(1)、x²﹣6x﹣16；

(2)、x²+2ax﹣3a².

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品类	甲种糖	乙种糖	丙种糖
质量/千克	$x$	$y$	20
单价/（元/千克）	35	30	25

组号	1	2	3	4	5	6
频数	20	19	17		18	14