浙教版七年级下册数学期末专项复习题--第4章因式分解

试卷更新日期：2026-05-26 类型：期末考试

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一、选择题

1. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）

A、 $x^{2} - 6 x + 9 = x (x - 6) + 9$ B、 ${(x + 1)}^{2} = x^{2} + 2 x - 1$ C、 $2 x^{2} - 2 = 2 (x + 1) (x - 1)$ D、 $x^{2} - 1 = {(x - 1)}^{2}$

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2. 多项式 $9 a^{2} x^{2} - 18 a^{4} x^{3}$ 各项的公因式是（）

A、 $9 a x$ B、 $9 a^{2} x^{2}$ C、 $a^{2} x^{2}$ D、9 $a^{4} x^{3}$

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3. 因式分解 $3 x^{2} - 12$ 的结果是（）

A、 $3 (x + 2) (x - 2)$ B、 $3 (x + 4) (x - 4)$ C、 $3 {(x - 2)}^{2}$ D、 $3 {(x - 4)}^{2}$

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4. 下列多项式中能用平方差公式进行分解因式的是（）

A、 $a^{2} + {(- b)}^{2}$ B、 $5 m^{2} - 20 m n$ C、 $x^{2} + y^{2}$ D、 $- x^{2} + 9$

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5. 若 $x^{2} + m x + 16$ 是完全平方式，则m的值是（）

A、4 B、8 C、 $\pm 4$ D、 $\pm 8$

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6. 已知 $x - y = \frac{1}{2}$ ， $x y = \frac{4}{3}$ ，则 $x y^{2} - x^{2} y$ 的值是（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、1 C、 $\frac{11}{6}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 若 $2 m - n = 2$ ， $2 m + n = 3$ ，则 $4 m^{2} + n^{2} + 4 m n$ 的值为（　　）

A、4 B、6 C、9 D、18

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8. 在多项式4x²+1中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（　　）

A、4x B、2x C、﹣4x D、4x⁴

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9. 把多项式 $x^{2} + a x + b$ 分解因式，得到 $(x + 1) (x - 3)$ ，则 $a, b$ 的值分别是 ( )

A、 $a = 2, b = 3$ B、 $a = - 2, b = - 3$ C、 $a = - 2, b = 3$ D、 $a = 2, b = - 3$

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10. 三个连续自然数的平方和一定（）

A、能够被2整除 B、能够被3整除 C、被3除余1 D、被3除余2

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二、填空题

11. 分解因式： $6 x y^{2} - 3 x^{2} y =$ .

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12. 已知 $m - n = 2$ ， $m^{2} - n^{2} = 6$ ，则 $m + n$ 的值为．

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13. 若 ${(x + m)}^{2} = x^{2} + n x + 49$ 是一个完全平方式，则n的值是

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14. 若 $x^{2} - x y = 9 - a$ ， $y^{2} - x y = 27 + a$ ．则 $y - x =$ ．

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15. 若二次三项式 $x^{2} + a x ﹣ 6$ 可分解为 $(x + 2) (x + b)$ ，则 $a + b$ = ．

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16. 将多项式 $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 变形为 $a {(x + m)}^{2} + n$ 的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如： $x^{2} - 4 x - 5 = x^{2} - 4 x + 2^{2} - 2^{2} - 5 = {(x - 2)}^{2} - 9$ ，
$∵$ ${(x - 2)}^{2} \geq 0$ ， $∴$ ${(x - 2)}^{2} - 9 \geq - 9$ ， $∴$ 当 $x = 2$ 时，多项式 $x^{2} - 4 x - 5$ 有最小值 $- 9$ ．
已知 $a$ ， $b$ 为实数，多项式 $(x + 3) (3 x + a)$ 展开后 $x$ 的一次项系数为 $m$ ，多项式 $(3 x + 2) (x + b)$ 展开后 $x$ 的一次项系数为 $n$ ，且 $m$ ， $n$ 均为正整数，则当 $m + n = 17$ 时， $a b$ 的最大值为．

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三、解答题

17. 因式分解：

(1)、 $8 a^{2} b - 4 a$ ；

(2)、 $(a + b)^{2} + 6 a + 6 b + 9$ .

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18. 因式分解．

(1)、 $2 a^{2} - 4 a b + 2 b^{2}$ ；

(2)、 $x^{2} (m - 1) + y^{2} (1 - m)$ ．

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19. 计算：

(1)、 $202 0^{2} - 2021 \times 2019$ （用简便方法）；

(2)、 ${(6 \times 1 0^{2})}^{2} \times (\frac{1}{3} \times 1 0^{5})$ （结果用科学记数法表示）；

(3)、（x-1）²-（x+1）（x-3）．

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20. 下面是嘉淇同学把多项式 $- 16 m y^{2} + 4 m x^{2}$ 分解因式的具体步骤：
$- 16 m y^{2} + 4 m x^{2}$
利用加法交换律变形：
$= 4 m x^{2} - 16 m y^{2}$
第一步
提取公因式 $m$ ：
$= m (4 x^{2} - 16 y^{2})$
第二步
逆用积的乘方公式
$= m [{(2 x)}^{2} - {(4 y)}^{2}]$
…．第三步
运用平方差公式因式分____ $= m (2 x + 4 y) (2 x - 4 y)$
……第四步

(1)、事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是；

(2)、请给出这个问题的正确解法．

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21. 给出三个多项式：① $a^{2} + 3 a b - 2 b^{2}$ ， ② $b^{2} - 3 a b$ ， ③ $a b + 6 b^{2}$ ．

(1)、请任意选择两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解：

(2)、当 $a = 2$ ， $b = - 3$ 时，求第（1）问所得的代数式的值．

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22. 完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多的数学问题．

(1)、若 $x + y = 8$ ， $x y = 12$ ，求 $x^{2} + y^{2}$ 的值；

(2)、已知实数a，b满足 ${(a + b)}^{2} = 11$ ， ${(a - b)}^{2} = 7$ ，求 $a^{4} + b^{4}$ 的值；

(3)、如图，已知正方形 $A B C D$ ， $B E F G$ 的边长分别为x，y，若 $x^{2} + y^{2} = 29$ ， $A E = 3$ ，则图中阴影部分的面积为________；

(4)、如果 $a^{2} + b^{2} = 2 a b$ ，那么 $a^{2} = b^{2}$ ．以上说法正确吗？请说明理由．

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23. 先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x＋y）²＋2（x＋y）＋1
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝m，则原式＝m²＋2m＋1＝（m＋1）²
再将x＋y＝m代入，得原式＝（x＋y＋1）²
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：

(1)、因式分解：1＋2（x-y）＋（x-y）²＝；

(2)、因式分解：9（x-2）²-6（x-2）＋1

(3)、因式分解：（x²-6x）（x²-6x＋18）＋81

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24. 阅读并完成下列问题：

(1)、分解下列因式，将结果写在横线上：
$x_{}^{2} + 6 x + 9$ =； $16 x_{}^{2} + 8 x + 1$ =； $9 x_{}^{2} - 12 x + 4 =$ .

(2)、观察以上三个多项式的系数，有
$6_{}^{2} = 4 \times 1 \times 9$ ， $8_{}^{2} = 4 \times 16 \times 1$ ， $（ - 12 ）_{}^{2} = 4 \times 9 \times 4$ ，
于是小明猜想：若多项式 $a x_{}^{2} + b x + c$ （a>0）是完全平方式，则实数系数a，b，c存在某种关系：请用数学式子表示a，b，c之间关系：.

(3)、解决问题：若多项式 $x_{}^{2} - 2 （ m - 3 ） x + （ 10 - 6 m ）$ 是一个完全平方式，求m的值.

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二、填空题

三、解答题

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