浙教版七年级下册数学期末专项复习题--第3章整式的乘除

试卷更新日期：2026-05-25 类型：期末考试

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一、选择题

1. 计算： ${(- 3)}^{- 3} =$ （）

A、27 B、 $\frac{1}{27}$ C、 $- \frac{1}{27}$ D、 $- 27$

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2. 下列各式运算结果为 $a^{5}$ 的是（）

A、 $a^{2} + a^{3}$ B、 ${(a^{2})}^{3}$ C、 $a^{10} \div a^{2}$ D、 $a^{2} \cdot a^{3}$

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3. 碘是人体必需的微量元素之一，在人的身体成长、发育过程中起着至关重要的作用，已知，碘原子的半径约为 $0.0000000133 c m$ ，数字 $0.0000000133$ 用科学记数法表示为（）

A、 $13.3 \times 10^{- 9}$ B、 $1.33 \times 10^{- 9}$ C、 $1.33 \times 10^{- 8}$ D、 $0.133 \times 10^{- 7}$

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4. 如等式 $(x - 2) (2 x + 5) = 2 x^{2} +$ ，被污染的部分正确的是（）

A、 $5 x - 4 x - 10$ B、 $5 x + 4 x + 10$ C、 $5 x + 2 x - 10$ D、 $5 x - 2 x + 10$

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5. 下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的是（）

A、 $(2 a + b) (a - 2 b)$ B、 $(a + 2 b) (2 b - a)$ C、 $(- a + b) (b - a)$ D、 $(- a - b) (a + b)$

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6. 已知a^m=2，aⁿ=3，则a^3m+2n的值是（）

A、6 B、24 C、36 D、72

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7. 已知长方形的面积为 $4 a^{2} - 6 a b + 2 a$ ，如果它的一边长为 $2 a$ ，则它的另一边长为（　　）

A、 $2 a - 3 b$ B、 $8 a - 6 b$ C、 $2 a - 3 b + 1$ D、 $8 a - 6 b + 2$

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8. 下面四个备选答案所提供的整式中，表示图中阴影部分面积的是（）

A、 $x^{2} + 5 x$ B、 $(x + 2) (x + 3) - x^{2}$ C、 $3 (x + 3) + x^{2}$ D、 $x (x + 3) + 6$

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9. 已知关于 $x$ 的二次三项式 $x^{2} + x + a$ 能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是 $x - 2$ ，则另一个一次多项式是（）

A、 $x - 1$ B、 $x + 1$ C、 $x - 3$ D、 $x + 3$

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10. 现有若干个长为 $a$ ，宽为 $b$ 的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为 $a$ 的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为 $(a + b)$ 的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为 $S_{1}$ ，右下角的阴影部分面积为 $S_{2}$ ．若 $a b = \frac{27}{4}$ ，则 $S_{2} - S_{1}$ 的值为（　　）

A、10 B、 $\frac{45}{4}$ C、11 D、 $\frac{23}{2}$

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二、填空题

11. ${(- 2 a^{3})}^{2} =$ ．

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12. 若 $3^{m} = 5, 9^{n} = 4$ ，则 $3^{m + 2 n} =$ ．

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13. 已知， $a - b = 2 ， a b = 1$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的值为．

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14. 若 $a + \frac{1}{a} = 2$ ，则 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}}$ 的值是.

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15. 已知 $2 m^{2} - m - 3 = 0$ ，则 $(2 m + 3) (2 m - 3) + {(2 m - 1)}^{2}$ 的值是．

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16. 用如图1所示的 $8$ 张长为 $a$ ，宽为 $b$ （ $a > b$ ）的小长方形纸片，按图 $2$ 的方式不重叠地放在矩形 $A B C D$ 内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为 $S$ ，当 $B C$ 的长度发生变化时，按照同样的放置方式， $S$ 始终保持不变．则 $a$ ， $b$ 之间满足的关系式为．

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 ${(\frac{1}{2})}^{- 2} + (- 1)^{2025} + (3.14 - π)^{0} + | - 2 |$ ；

(2)、 $a \cdot a^{5} + 2 a^{8} \div a^{2} - (2 a^{2})^{3}$ .

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18. 计算：

(1)、 ${(π + 2025)}^{0} + {(- 1)}^{2025}$ ；

(2)、 ${(x - y)}^{2} + (6 x^{2} y - 3 x^{3}) \div 3 x$ ．

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19. 先化简，再求值： $(12 x^{3} - 6 x^{2} + 3 x) \div 3 x - (2 x + y) (2 x - y)$ ，其中 $x = 2, y = - 1$ ．

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20. 数学课上，王老师请了小深和小圳上讲台做题，以下是他们的解答过程：

（小深）计算：[（x+y²-（x-y）²] ÷2xy

解：原式=[（x²+2xy+y²）-（x²-2xy+y²）]÷2xy... ①

=（x²+2xy+y²-x²+2xy-y²）÷2xy……②

=4xy+2xy……③

（小圳）先化简，再求值：

x（x+2y）-（x+1）²+2x，其中x= $\frac{1}{2025}$ ， y=-2025.

解：原式=x²+2xy-x²+2x+1+2x... ①

＝2xy+1……②

.......

(1)、解答过程里，小深第②步的解法依据是____（填选项）·

A、等式的基本性质 B、乘法交换律 C、去括号法则 D、合并同类项

(2)、小圳从第 ▲ 步开始出现错误；请你写出这道题正确且完整的解答过程.

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21. 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)．

(1)、上述操作能验证的等式是 (请选择正确的一个)
A． $a^{2} - 2 a b + b^{3} = {(a - b)}^{2}$
B． $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$
C． $a^{2} + a b = a (a + b)$

(2)、应用你从(1)选出的等式，完成下列各题：
①已知 $x^{2} - 4 y^{2} = 12$ ， $x + 2 y = 4$ ，求 $x - 2 y$ 的值．
②计算： $(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) \dots (1 - \frac{1}{19^{2}}) (1 - \frac{1}{20^{2}})$ ．

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22. 若定义一种新运算： $a ※ b = \frac{{(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2}}{4} .$

(1)、设A为整式， $A ※ 2 = 4 x^{2} - 4 x (x - 1) - 12,$ 求整式A并化简.

(2)、在(1)的条件下，当x=2时，求A※(x+3)的值.

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23. 为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是长为 $(a + 4 b)$ 米，宽为 $(a + 3 b)$ 米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区．

(1)、用含有a、b的式子分别表示出小路面积 $S_{1}$ 和种植区的总面积 $S_{2}$ ；（请将结果化为最简）

(2)、若 $a = 2$ ， $b = 4$ ，求出此时种植区的总面积 $S_{2}$ ．

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24. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张， B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．

(1)、若要拼出一个面积为 $(a + 2 b) (a + b)$ 的长方形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片张．

(2)、根据所学知识，解决如下问题：
已知： $a + b = 7$ ， $a^{2} + b^{2} = 25$ ， $a b$ 的值为；
小明在数学课外书上看到了这样一道题：如果x满足 $(6 - x) (x - 2) = 3$ ．求 ${(6 - x)}^{2} + {(x - 2)}^{2}$ 的值，怎么解决呢？
小英给出了如下两种方法：
方法1∶ 设 $6 - x = m ， x - 2 = n$ ，则 $(6 - x) (x - 2) = m n = 3 ， m + n = 6 - x + x - 2 = 4$ ；
${(6 - x)}^{2} + {(x - 2)}^{2}$ ，
$= m^{2} + n^{2}$ ，
$= {(m + n)}^{2} - 2 m n$ ，
$= 4^{2} - 2 \times 3$ ，
$= 16 - 6$ ，
$= 10$ ；
方法2：
∵ $(6 - x) (x - 2) = 3$ ，
$∴ 6 x - 12 + 2 x - x^{2} = 3$ ，
$∴ x^{2} - 8 x = - 15$ ，
${(6 - x)}^{2} + {(x - 2)}^{2}$
$= 36 - 12 x + x^{2} + x^{2} - 4 x + 4$
$= 2 x^{2} - 16 x + 40$
$= 2 (x^{2} - 8 x) + 40$
$= 2 \times (- 15) + 40$
$= - 30 + 40$
$= 10$ ．

(3)、任务：
请你用材料中两种方法中的一种解答问题：若 ${(x - 25)}^{2} + {(23 - x)}^{2} = 10$ ，求 $(x - 25) (23 - x)$ 的值．

(4)、如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 14$ ， $B C = 6$ ， E ， F分别是 $B C ， C D$ 上的点，且 $B E = D F = x$ ，分别以 $F C ， C E$ 为边在长方形 $A B C D$ 外侧作正方形 $C F G H$ 和 $C E M N ，$ 若长方形 $C E P F$ 的面积为 40，则图中阴影部分的面积和为．

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