2026届山东日照市高三模拟考试数学试题

试卷更新日期：2026-05-03 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合 $A = {x ∣ - 2 < x \leq 2}, B = \{x ∣ y = \log_{2} (x - 1)\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 2)$ B、 $(- 2, 2]$ C、 ${1}$ D、 $(1, 2]$

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2. 某校学生会体育部长依据本校高三男生的身高（单位： $cm$ ）与体重（单位： $kg$ ）的抽样数据，运用电子办公软件求出了“体重”（y）关于“身高”（x）的回归方程，则该回归方程（）

A、表示x与y之间的函数关系 B、表示x与y之间的不确定关系 C、反映x与y之间的真实关系 D、反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合

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3. 已知函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的偶函数，且满足 $f (x + 2) = f (- x)$ ，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = 2^{x}$ ，则 $f (\frac{5}{2}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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4. 已知向量 $\vec{a} = (m - 2, 1)$ ， $\vec{b} = (3, m)$ ，则“ $m = - 1$ ”是“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 若 $2^{a} = 3 = \log_{b} 9$ ， $c = e^{ln \frac{2}{3}}$ ，则实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小顺序为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

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6. 将直线 $l : x - 2 y = 0$ 绕点 $(2, 1)$ 逆时针旋转 $θ$ （ $θ$ 为锐角，其中 $\cos θ = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ）后所得直线方程为（）

A、 $y = x - 1$ B、 $y = 2 x - 3$ C、 $y = 3 x - 5$ D、 $y = 4 x - 7$

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7. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 、A为双曲线的左顶点，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于 $P$ 、 $Q$ 两点，且 $∠ P A Q = \frac{2 π}{3}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ D、 $\sqrt{13}$

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8. 已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为 $4 \sqrt{2}$ ，用满足 $M A^{2} + M B^{2} = M C^{2} + M D^{2}$ 的动点 $M$ 构成的平面截正四面体 $A B C D$ ，所得截面多边形的周长为（）

A、4 B、8 C、 $8 \sqrt{2}$ D、 $16 \sqrt{2}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 设 $z$ 为复数（i为虚数单位），下列命题正确的是（）

A、若 $z \in R$ ，则 $z = \bar{z}$ B、若 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ C、若 $z^{2} + 1 = 0$ ，则 $z = \pm i$ D、若 $(1 + i) z = 1 - i$ ，则 $| z | = \sqrt{2}$

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10. 将函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{6}) (0 < ω < 6)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $(0, \frac{π}{ω})$ 是 $g (x)$ 的一个单调递增区间，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2}, \frac{2 π}{3})$ 上单调递增 C、函数 $F (x) = f (x) + g (x)$ 的最大值为1 D、方程 $6 f^{2} (x) + f (x) - 1 = 0$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有5个实数根

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11. 对于无穷数列 $\{a_{n}\}$ ，若存在常数 $M > 0$ ，使得对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有不等式 $|a_{2} - a_{1}| + |a_{3} - a_{2}| + \dots + |a_{n + 1} - a_{n}| \leq M$ 成立，则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P$ ．则下列结论正确的是（）

A、存在公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P$ B、以1为首项， $q (| q | < 1)$ 为公比的等比数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P$ C、若由数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和构成的数列 $\{S_{n}\}$ 具有性质 $P$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 也具有性质 $P$ D、若数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 均具有性质 $P$ ，则数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 也具有性质 $P$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边，若 $a = \sqrt{3}, b = \sqrt{2}$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，则角 $B =$ ．

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13. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 4 x + a = 0 (a \in R)$ 的两根在复平面 $x O y$ 上对应的点分别为 $P$ 和 $Q$ ，若 $△ P O Q$ 是等边三角形，则 $a =$ .

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14. 已知正实数a，b满足 $a - 2 \ln a = 2 \ln b - 4 b + 4$ ，则 $a^{b} =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. 如图1，在边长为2的正方形 $A B C D$ 中， $E, F$ 分别为线段 $B C, A D$ 的中点，现将四边形 $C D F E$ 折起至 $M N F E$ ，得到三棱柱 $A F N - B E M$ ，如图2，记二面角 $M - E F - A$ 的平面角为 $θ$ ．

(1)、若 $θ = \frac{π}{2}$ ，求三棱柱 $A F N - B E M$ 的体积；

(2)、若 $θ = \frac{π}{4}, P$ 为线段 $E F$ 上一点，满足 $A P ⊥ B P$ ，求直线 $A P$ 与平面 $N B E$ 所成角的正弦值．

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16. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $n, a_{n}, S_{n}$ 成等差数列．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知数列 $\{b_{n}\}$ 是公差为2的等差数列，且 $b_{3} = 2 b_{2} - 3$ ．若将数列 $\{b_{n}\}$ 中去掉数列 $\{a_{n}\}$ 的项后余下的项按原顺序组成数列 $\{c_{n}\}$ ，求 $c_{1} + c_{2} + c_{3} + \dots + c_{30}$ 的值．

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17. 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为 $\frac{1}{2}$ ，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为 $p$ ，假设每道题答对与否互不影响．

(1)、当 $p = \frac{1}{5}$ 时，
（i）求甲答对某道题的概率；
（ii）甲答了4道题，记甲答对题目的个数为随机变量 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ ；

(2)、已知乙答对每道题的概率为 $\frac{3}{4}$ （含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于 $\frac{3}{16}$ ，求甲的亲友团每道题答对的概率 $p$ 的最小值．

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18. 已知抛物线 $Γ : y^{2} = 2 x$ ，点 $P (x_{0}, y_{0}) (y_{0} \neq 0)$ 在抛物线 $Γ$ 上．

(1)、证明：以点 $P$ 为切点的 $Γ$ 的切线的斜率为 $\frac{1}{y_{0}}$ ；

(2)、过 $Γ$ 外一点 $A$ （不在 $x$ 轴上）作 $Γ$ 的切线AB，AC，切点分别为点B，C，作平行于BC的切线 $B_{1} C_{1}$ ，切点为点 $D$ ，点 $B_{1}, C_{1}$ 分别是切线 $B_{1} C_{1}$ 与AB，AC的交点，设BC的中点为 $E$ （如图所示）．
（i）证明：A，D，E三点共线；
（ii）过 $Γ$ 外一点的两条切线及第三条切线（第三条切线平行于两切线切点的连线）围成的三角形叫做“切线三角形”，如 $△ A B_{1} C_{1}$ ．设 $△ A B C$ 面积为 $S$ ，第1次由点 $A$ 作切线三角形 $△ A B_{1} C_{1}$ ，第2次分别由点 $B_{1}, C_{1}$ 作切线三角形 $△ B_{1} B_{2} C_{2}, △ C_{1} B_{3} C_{3}$ ，并依此方法重复 $n$ 次，记所得所有“切线三角形”的面积之和为 $T$ ．判断 $T$ 与 $\frac{1}{3} S$ 的大小关系并证明．

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19. 已知函数 $y = f (x)$ 定义域为 $I, D \subseteq I$ ．若存在 $t \in D$ ，对任意 $x \in D$ ，当 $x < t$ 时，都有 $f (x) < f (t)$ ，则称 $t$ 为 $y = f (x)$ 在 $D$ 上的“凸点”．

(1)、求函数 $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x$ 在 $[0, 5]$ 上的最大“凸点”；

(2)、若函数 $f (x) = (2 + a x) \ln (1 + x) - 2 x$ 在 $[0, 2]$ 上不存在“凸点”，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $D = \{1, 2, \dots, m\} (m \in N^{*})$ ，且 $f (1) = 0, f (x) - f (x - 1) \leq 1$ ．证明： $y = f (x)$ 在 $D$ 上的“凸点”个数不小于 $f (m)$ ．

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