5月下旬之三角形与四边形—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递

试卷更新日期：2026-05-24 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，为测量零件内槽宽 BC，某同学制作了一个测量尺．其中，AB 为固定臂，AC为活动臂(可绕点A转动)．D，E分别为AB，AC的中点，测量尺的零刻度与点D重合．现测得DE的长为4.5cm，则内槽宽BC的长为( )

A、4.5cm B、9cm C、13.5cm D、18cm

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2. 小红借助两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图.其中△OAB 与△ODC 都是顶角为锐角的等腰三角形，且它们关于直线l对称，点 E，F 分别是底边AB，CD 的中点，OE⊥OF，90°<∠AOD<180°.设∠AOF=α，则∠BOC 的大小为（ )

A、2a-180° B、α-90° C、180°-α D、270°-2α

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3. 如图所示为一张矩形纸片 ABCD，圆圆和方方在探究矩形和菱形的联系，通过尺规作图在矩形中作出一个菱形.圆圆的作法是：连结对角线 BD，作 BD的中垂线分别交 BC， AD于点 E， F，连结 BF， DE，则四边形 BEDF是菱形.方方的作法是：作 BC的中垂线分别交 BC，AD于点 E， F，连结 BF， DE，则四边形 BEDF是菱形.对于两人的作法，判断( )

A、两人都正确 B、两人都错误 C、圆圆正确，方方错误 D、圆圆错误，方方正确

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4. 如图，已知∠ABC=45°，点D在BC上， BD=2，以D为圆心， DB长为半径画弧交AB于点E，则 BE的长为( )

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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5. 数学课上，老师要求将一个含22.5°角的直角三角形，用尺规作图将其分割成两个等腰三角形.甲，乙两人的作法分别如下图所示，则( )

A、甲对乙错 B、甲错乙对 C、两人都错 D、两人都对

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6. 如图，在等边三角形ABC中，AB=4．以点C为圆心，适当长度为半径作弧分别交CA，CB于点D，E.再以点D为圆心，DE为半径作弧交第一段弧于点F，在射线CF上取点G，使得CG=6，则AG的长为( )

A、 $2 \sqrt{7}$ B、6 C、 $2 \sqrt{6}$ D、7

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7. 如图，在平面直角坐标系中，点A， B， C的坐标分别为(3， 4)， (0， 3)， (1， 1)．若将△ABC绕点A逆时针旋转，使得点C与点C'(6，2)重合，则点B旋转后的对应点B'的坐标为( )

A、(5， 1) B、(4， 1) C、(3， 1) D、(1， 4)

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8. 如图，有两个正方形ABCD、EFGH，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上，连结CE，已知AE=3，CF=4，则CE等于（）

A、 $\sqrt{73}$ B、 $2 \sqrt{13}$ C、 $\sqrt{65}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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9. 下图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形 MNPQ 拼成的一个大正方形ABCD.直线 MP 分别交正方形ABCD 的两边于点E，F，若MN=1，EM=MP=PF，则AB= （ )

A、 $\sqrt{6} + \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、2 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2} + 1$

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10. 如图 1是中国古代一种弓箭的箭头实物图，图 2是其示意图，为轴对称图形，已知AB∥CD，∠G=30°，∠F=50°，则∠A 的度数为( )

A、45° B、50° C、55° D、60°

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11. 如图，在平行四边形ABCD中， $A B = 2 \sqrt{2}, B C = 4, ∠ B = 4 5^{\circ},$ 点E在边 BC上，D 是线段 FG的中点，若AG∥EF，则四边形AEFG的面积为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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12. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC 是一条对角线，E 是AC 上一点，过点 E 作EF⊥AB，垂足为 F，连结DE.若AE=BF，则DE：BC的值为（ )

A、2：3 B、 $\sqrt{7} : 3$ C、2.5：3 D、 $\sqrt{6}$ ：3

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二、填空题

13. 如图，在▱ABCD中， AB=2， ∠D=60°， CE平分∠BCD，交AD于点E，以点B为圆心，BC长为半径作圆弧交DE于点 F，连结 BF.若AE=DF，则 $\hat{C F}$ 的长为.

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14. 如图，正方形 OEFG 和正方形ABCD 是位似图形，其位似中心为(-2，0).已知点 F的坐标为(1，1)，若点A 的坐标(2，0)，则点C的坐标为.

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15. 如图，正方形ABCD边长为2，动直线l经过正方形中心O，线段A'B'与线段AB关于直线l对称，则点 B到直线A'B'的距离最大值为.

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16. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠C=120°，AB=AD，BC=CD=2，点P是CD延长线上的一点，连结BP，△BEP与△BCP关于直线BP对称.当EP经过点A时，线段CP长为 .

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17. 如图，在矩形ABCD中， AB=2， BC=4， E是CD的中点．将矩形ABCD绕点E顺时针旋转得到矩形 A₁B₁C₁D₁ ，边B₁C₁与边AD交于点 F，连结A₁B．当点F落在 A₁B上时，AF= ．

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18. 如图，矩形 EFGH可由矩形ABCD沿着对角线向右平移得到(点A，B，C，D的对应点分别为E， F， G， H)．边CD， BC分别交边EH， EF于点M， N，连结AH交CD于点K．若AE=2，EO=1， ∠DAH=∠ACD，则AH的长为．

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19. 【阅读材料】过矩形对角线上任意一点作两条分别平行于两邻边的直线，会得到面积相等的两个矩形，如图（1），S_矩形AEOM＝S_矩形CFON ．
【解决问题】如图（2），点M是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点M作EF∥BC分别交AB，CD于点E，F，连接BM，DM．若CF＝4，EM＝3，DF＝2，则MF＝．

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三、解答题

20. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°.

(1)、尺规作图：作⊙O，使圆心O在BC上，⊙O经过A，B两点.(保留作图痕迹，不写作法)

(2)、求证：AC是(1)题所作⊙O的切线.

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21. 课堂上，屏幕上呈现一题：
已知：如图，在四边形ABCD中， AB=AD， ▲ .
求证： BC=CD.
请在空格处添加条件并证明.
你支持 ▲ (填“小明”或“小丽”)的观点，并写出相应的证明过程.

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22. 对于题目“如图1，已知AC， BD 相交于O， OA=OB， OC=OD，证明： △ABC≌△BAD.”小明的解答过程如图2.请指出小明证明过程中错误步骤的序号，并写出正确证明过程.

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23. 【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在菱形纸板ABCD上裁剪出一对“仿古三角旗”（阴影部分)，其中点E， F分别在AD， BC上，连结EF交AC于点 G.
【数学理解】

(1)、这对“仿古三角旗”是相似的，请写出△AEG∽△CFG的证明过程.

(2)、若AB=2BF=4DE， CG=5，求AG的长.

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24. 图1为矩形实验台示意图，两面平面镜分别垂直放置于实验台边缘AB，BC上．点M在边AD上，E为AB中点，从点M发出的一束光线经边AB上的平面镜反射后，得到反射光线EF：光线EF再经BC上的平面镜反射，最终反射光线 FN交AD于点N．根据光的反射定律，可推得∠AEM=∠BEF， ∠BFE=∠CFN．

(1)、求证： FN∥EM．

(2)、已知AD=4，若反射光线 FN恰好经过点 D (如图2)，求AM的长．

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25. 新定义：两个内角度数之差等于 $9 0^{\circ}$ 的三角形称为“类直角三角形”.

(1)、【判定】如图 1， $△ A B C$ 中， $∠ A = 12 0^{\circ}, A B = A C,$ 求证： $△ A B C$ 是“类直角三角形”.

(2)、【性质】如图2， $△ A B C$ 是“类直角三角形”， $∠ B A C - ∠ B = 9 0^{\circ}, A C = 4, B C = 8,$ 求AB 的长度.

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26. 如图，在四边形 ABCD中，AB∥CD，点E在边AB 上， ▲ .请从“①∠B=∠AED；②BE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号)，再解决下列问题：

(1)、求证：四边形 BCDE为平行四边形.

(2)、若AD⊥CD，AD=8，BC=10，AE=CD，求平行四边形 BCDE 的面积.

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27. 在一次综合与实践课上，某数学兴趣小组从一张正方形纸片出发，通过不同的折叠方式，感受数学的奥秘．
【实践操作1】折法：如图1．
步骤1：将正方形ABCD对折，得到折痕EF，连结CE；
步骤2：将正方形沿CE折叠，使点B翻折至点H处，CH交EF于点G．
【实践操作2】折法：如图2．
步骤1：将正方形ABCD对折，得到折痕MN，连结CM．
步骤 2：将正方形折叠，使点B落在CM上，得点B₁ ，得到折痕CP，
【问题解决】

(1)、在实践操作1中，猜想△GEC的形状，并说明理由．

(2)、在实践操作2中，若BC=2，求BP的长．

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28. 小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形，已知：在△ABC中，∠ACB＝90°．求作：直线CD，使得直线CD将△ABC分割成两个等腰三角形．下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图，①作直角边CB的垂直平分线MN，与斜边AB相交于点D；②作直线CD，则直线CD就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，解决下列问题：

(1)、使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、小明进一步探究：以点D为圆心，适当长为半径画弧分别交DA、DC于P、Q两点，再分别以点P、Q为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ PQ的长为半径画弧，两弧在∠ADC内交于点M，直线DM交AC于点E，则AE＝CE ▲ （填写理由），使用尺规作图在图中补全作图痕迹

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29. 在矩形ABCD中，ABEF为正方形，点G在EF射线上， $∠ A G D = 9 0^{\circ} ，$ 过A 作HA⊥AG交BC于点H，过H作HP⊥DG交DG于点 P，连结DH交EF于点Q.

(1)、求证：四边形AHPG是正方形.

(2)、已知AB=1，若Q为HD的中点，求 BC的长.

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30. 如图1，在四边形ABCD中， $A D ‖ B C, ∠ A B C = 9 0^{\circ}, A B = 5, B C = 4,$ CE平分 $∠ B C D,$ 交AB于点E，点F在AB上，且.AE=BF.

(1)、如图2，当点E与点 F重合时，求 $t a n ∠ E C D$ 的值.

(2)、如图3，点G在射线AD上，且点E在点 F上方时，连结DE，FG.
①当 $E F = \frac{5}{3}$ 时，求AD的长.
②若AD+AG=5，求DE+FG的最小值.

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31. 如图1，在菱形ABCD中，对角线. $A C = 2 \sqrt{3}, ∠ D A B = 6 0^{\circ},$ P 是射线AD上一点，连接 BP，△BPQ与△BPA关于 BP对称.

(1)、求AB的长.

(2)、当BQ⊥AB时，求证： PQ∥AC.

(3)、如图2，当直线PQ与AC相交时，记交点为E.
①当点P在边AD上，且PQ⊥AB时，求AP的长.
②连接BE，当BE取得最小值时，求AE的长.

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32. 如图1，点 P是正方形 ABCD对角线 BD延长线上一点， BD=6.连结 PA， PC，将线段PA绕着点 P逆时针旋转一定的角度后与 BC的延长线交于点 E.

(1)、求证： ①△PCE是等腰三角形；
$② C E = \sqrt{2} D P;$

(2)、连 DE交 PC于点 Q，设 DP=x， △QCE的面积为 S，求 S与x的关系式.

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33.

(1)、如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E.
①若 $D E = 1, B D = \frac{3}{2},$ 求BC的长；
②试探究 $\frac{A B}{A D} - \frac{B E}{D E}$ 是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

(2)、如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF=2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为S₁ ， △CDE的面积为S₂ ， △BDE的面积为 $S_{3}, S_{1} \cdot S_{3} = \frac{4}{9} S_{2}^{2},$ 求cos∠CBD的值.

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