5月下旬之数与式—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递

试卷更新日期：2026-05-24 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 下列各式：①a²•a³＝a⁵；②（﹣3ab³）²＝9a²b⁶；③ $\sqrt{(1 - \sqrt{2})^{2}} = 1 - \sqrt{2}$ ；④ ${(t a n 60 ° - \sqrt{3})}^{0} =$ 1；⑤x²+2x²＝3x² ，其中正确的有（　　）个．

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 瑞安特产马蹄笋闻名浙南.某农户采挖一批马蹄笋，质量为 240千克，若每筐多装 2千克，则所用筐数比原来少 4筐.设原来每筐装x千克，可列出方程（ )

A、 $\frac{240}{x} - \frac{240}{x + 2} = 4$ B、 $\frac{240}{x + 2} - \frac{240}{x} = 4$ C、 $\frac{240}{x} - \frac{240}{x - 2} = 4$ D、 $\frac{240}{x - 2} - \frac{240}{x} = 4$

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3. 若关于x的一元二次方程(x+1)(x-3)=m的两根为： $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2}) ，$ ，下列判断正确的是( )

A、 $x_{1} = - 1 ， x_{2} = 3$ B、m应满足m>-4 C、当m>0时，x₁＞-1，x₂>3 D、当m<0时， $- 1 < x_{1} < x_{2} < 3$

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4. “九宫图”传说源于远古时代洛河中的神龟背甲图案，故又称“龟背图”．数学中的“九宫图”指一个3×3的方格，要求其每行、每列及每条对角线上的三个数字之和均相等．如图所示为一个不完整的“九宫图”，则x-y的值为( )

A、- 8 B、- 6 C、- 2 D、6

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5. 下列图形都是用同样大小的●按一定规律组成的，其中第①个图形中共有3个●，第②个图形中共有8个●，第③个图形中共有15个●，…，则第⑧个图形中●的个数为（　　）

A、63 B、64 C、80 D、81

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二、填空题

6. 已知a，b为有理数，如果规定一种新运算： $M_{a}^{b} = a^{2} b - b ， M_{3}^{- 2} =$ ．

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7. 魏晋时期刘徽在《九章算术注》中提到了一种求二次根式近似值的方法：对于正整数k，若 $k = a^{2} + r$ (其中a为正整数，整数r≠0)，则当|r|最小时， $\sqrt{k} = \sqrt{a^{2} + r} \approx a + \frac{r}{2 a} .$ 用该方法计算 $\sqrt{97}$ 的近似值为.(结果保留两位小数)

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8. 【数学阅读】17世纪数学家莱布尼茨发现π可以用级数表达： $\frac{π}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \dots + {(- 1)}^{n + 1} \frac{1}{2 n - 1} + \dots .$
【数学应用】应用莱布尼茨π的级数表达公式，估算：当n=4时，π的近似值为． (结果保留一位小数)

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9. 若x₁ ， x₂是关于x的方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的两个实数根，且 $∣ x_{1} ∣ + ∣ x_{2} ∣ = 2 ∣ k ∣$ （k是整数)，则称方程 $x^{2} + b x + c$ =0为“偶根方程”.若 $x^{2} + 3 x - m = 0$ 是“偶根方程”，则常数m可以是.（写出一个符合条件的值即可)

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10. 【探究活动】如图，计算末位为5的两位数的平方时，只需将十位上数字n与n+1相乘，再乘以100，然后加上25即可.
【应用体验】已知（ ${(10 n + 5)}^{2} = 5625 (n⟩ 0),$ 则n=.

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三、解答题

11. 已知实数a，b满足 $a - b = 4, a^{2} + b^{2} = 14 .$

(1)、求 ab的值.

(2)、阅读如图材料，求 $a^{3} - b^{3}$ 的值.

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12. 丢番图曾提出这样一个问题：将一给定的平方数，分为两个正有理数的平方和.例如给定的平方数为16.
设其中一个正有理数的平方为x² ，则另一个正有理数的平方为 $16 - x^{2} .$
令 $16 - x^{2} = {(m x - 4)}^{2},$ 其中m为整数.
取m=2，则 $16 - x^{2} = {(2 x - 4)}^{2},$
于是 $16 - x^{2} = 4 x^{2} - 16 x + 16,$
解得 $x_{1} = 0$ (舍去)， $x_{2} = \frac{16}{5} .$
所以 $x^{2} = \frac{256}{25}, 16 - x^{2} = 16 - {(\frac{16}{5})}^{2} = \frac{144}{25},$
即 $16 = \frac{256}{25} + \frac{144}{25} = {(\frac{16}{5})}^{2} + {(\frac{12}{5})}^{2} .$

(1)、上面的解决过程中，为何将 $x_{1} = 0$ 舍去?请说明理由.

(2)、请你将平方数9分为两个正有理数的平方和.

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13. 【发现】
数学兴趣小组活动中，小明发现：偶数的平方能被4整除．
证明过程如下：整数m为偶数时，设m=2n(其中n为整数)，
$m^{2} = {(2 n)}^{2} = 4 n^{2},$
因为n²是整数，
所以m²能被4整除．
【类比】
探究奇数的平方被4除所得余数的情况．
小明通过举例发现：

(1)、奇数的平方被4除余数为．

(2)、证明过程如下：整数m为奇数时，设m=2n+1(其中n为整数)，……
请补全证明过程．

(3)、【应用】
小红求得某一个整系数一元二次方程判别式的值等于2026．判断小红的计算结果是否正确?若正确，请写出一个符合条件的一元二次方程；若不正确，请说明理由．(注：整系数一元二次方程是指关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0,$ 其中a，b，c均为整数，且a≠0)

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14. 考拉兹猜想(又称3n+1猜想)是近代数学中最著名的未解猜想之一，由德国数学家考拉兹提出，其内容是：任意正整数 n，若是偶数就除以2，若是奇数就乘3加1，重复操作，最终都会得到1.例如，当n=10时，分步进行考拉兹运算：
第1步： 10÷2=5；第2步： 5×3+1=16；第3步： 16÷2=8；第4步： 8÷2=4；第5步： 4÷2=2；第6步： 2÷2=1

(1)、若从某正整数 n出发，第一步考拉兹运算得到16，求所有满足条件的正整数 n；

(2)、小杭同学说：若3n+1(n为任意正整数)已被证明符合考拉兹猜想，则2m(m为任意正整数)一定也符合考拉兹猜想.
∵2m为偶数
∴2m÷2=m
若 m为奇数，则下一步考拉兹运算后为3m+1；
若m为偶数，则下一步考拉兹运算继续除以2，多次运算，直至出现奇数p，则下一步考拉兹运算得到3p+1；
∴2m可以多次考拉兹运算为3n+1的形式；
∴2m一定也符合考拉兹猜想.
若3n+1(n为任意正整数)已被证明符合考拉兹猜想，请继续证明4k+1(k为任意正整数)一定也符合考拉兹猜想.

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15. 【阅读理解】
我国南宋时期数学家秦九韶著有《数书九章》，书中记载了“三斜求积术”，即根据三角形的三边长求面积的方法.如果将三角形的三边长分别记为a，b，c，那么三角形的面积 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]} .$
【推导验证】
已知：如图，在△ABC中，记AB=c， BC=a， AC=b.
求证：△ABC的面积 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]} .$
证明：过点A作AD⊥BC于点D，
设CD=x，则BD=a-x，
$∴ A D^{2} = b^{2} - x^{2} = c^{2} - {(a - x)}^{2},$
……

(1)、请你继续完成上述推导.

(2)、【尝试应用】
已知△ABC的三边长分别为 $\sqrt{5}$ ， 2， $\sqrt{3}$ ，请用“三斜求积术”求△ABC的面积.

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16. 跟华罗庚学猜数：
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．
华罗庚（1910-1985）
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：
①∵ $\sqrt[3]{1000} = 10$ ， $\sqrt[3]{1000000} = 100$ ，又∵ $1000 < 59319 < 1000000$ ， ∴ $10 < \sqrt[3]{59319} < 100$ ， ∴能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又∵ $9^{3} = 729$ ，能确定59319的立方根的个位数是9．
③若划去59319后面的三位319得到数59，而 $\sqrt[3]{27} < \sqrt[3]{59} < \sqrt[3]{64}$ ，则 $3 < \sqrt[3]{59} < 4$ ，可得 $30 < \sqrt[3]{59319} < 40$ ，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．

(1)、现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
①它的立方根是                 位数；
②它的立方根的个位数字是                 ；
③19683的立方根是                  ．

(2)、求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写）

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