广东广州市第八十九中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2026-05-20 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 化简： $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{B A} - \vec{B C}$ 等于（）

A、 $\vec{A C}$ B、 $\vec{C A}$ C、 $\vec{B A}$ D、 $\vec{A B}$

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2. 复数 $m + (m^{2} - 1) i$ 是实数，则实数 $m =$ （）

A、0 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 1$ 或 $1$

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3. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角 $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ ，其中 $A^{'} B^{'} = 1$ ，则原图形的面积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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4. 已知复数 $z = 1 + i$ ，则 $|\frac{z}{z - 2 i}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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5. 已知向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 满足 $| \overset{⃑}{a} | = 1, | \overset{⃑}{b} | = \sqrt{3}, | \overset{⃑}{a} - 2 \overset{⃑}{b} | = 3$ ，则 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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6. 已知 $m ， n$ 为不同的直线， $α ， β$ 为不同的平面，下列命题为假命题的是（）

A、 $m ⊥ α, m ⊥ β \Rightarrow α ∥ β$ B、 $m ∥ n, n \subset α \Rightarrow m ∥ α$ C、 $m ⊥ α, m \subset β \Rightarrow α ⊥ β$ D、 $m ⊥ α, n ⊥ α \Rightarrow m ∥ n$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 3 A D$ ，点 $E$ 是 $C D$ 的中点.设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{6} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$

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8. 如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = 4$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ．从A拉一条细绳绕过侧棱PB，PC，PD回到A点，则细绳的最短长度为（）

A、 $2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{7} + 2$ C、 $3 \sqrt{7}$ D、 $8 \sqrt{2}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 给出下列命题，不正确的有（）

A、两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ C、若 $\vec{a}$ 为非零向量，则 $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ 与 $\vec{a}$ 同向 D、已知 $λ$ ， $μ$ 为实数，若 $λ \vec{a} = μ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线

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10. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\sin B > \sin C$ ，则 $B > C$ B、若 $\vec{A C} \cdot \vec{A B} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 C、若 $△ A B C$ 面积为 $S$ ，则 $S = \frac{1}{4} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ ，则 $C = \frac{π}{4}$ D、若 $a \cos B + b \cos A = 2 c \cos C$ 则 $C = \frac{π}{3}$

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E为边CD的中点，P为空间内一动点，则下列说法中正确的是（）

A、当P在线段 $B C_{1}$ 上运动时，四面体 $D_{1} - A P E$ 的体积为定值 B、当P在正方体表面上运动时，若 $A P ⊥ B_{1} E$ ，则P的轨迹长度为 $3 \sqrt{2} + \sqrt{5}$ C、当P在线段AE上运动时，直线 $D_{1} P$ 与AD成角最小值为 $\frac{π}{4}$ D、当P在线段 $A_{1} C$ 上运动时，四面体 $P - A B C$ 的外接球半径的取值范围为 $[\sqrt{2}, \sqrt{6})$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知某圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为.

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13. 已知向量 $\vec{a} = (11, 2)$ ， $\vec{b} = (- 3, 4)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标是

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14. 如图所示，为测量河对岸的塔高 $A B$ ，选取了与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ，现测得 $\tan ∠ A C B = \frac{3}{5}$ ， $C D = 50 m$ ， $∠ B C D = 75^{°}$ ， $∠ B D C = 60^{°}$ ，则塔高 $A B =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = 7 - 2 i$ ， $z_{3} = 1 - 3 i$ ，在复平面内，复数 $z_{1} + 1$ ， $z_{2} - z_{3}$ ， $z_{1} \cdot z_{2}$ 对应的点分别为A，B，C．

(1)、求 $|\vec{B C}|$ ；

(2)、已知四点A、B、C、D组成平行四边形 $A B C D$ ，求D点坐标以及 $\cos ∠ B A D$ 的值．

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16. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $B D_{1} / /$ 平面 $A E C$ ；

(2)、若正方体棱长为2，求三棱锥 $D - A E C$ 的体积．

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17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c = 2 b$ ， $a = 2 c \cos C$ ．

(1)、求 $\frac{a}{b}$ 的值；

(2)、若 $b = 2$ 时，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A B C$ 和 $△ P A B$ 都是边长为2的正三角形．

(1)、证明： $P C ⊥ A B$ ；

(2)、求直线 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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19. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $tan C = \frac{sin A + sin B}{cos A + cos B}$ .

(1)、求C的值.

(2)、设 $△ A B C$ 的外接圆半径为R，内切圆半径为r.
（i）若 $R = 4 \sqrt{3}$ ， $r = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长；
（ii）求 $\frac{r}{R}$ 的最大值.

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