云南保山市2026届高三毕业生第二次模拟考试数学试卷

试卷更新日期：2026-05-19 类型：高考模拟

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设集合 $M = \{x ∣ x^{2} + 2 x - 8 \leq 0\}$ ，集合 $N = \{x ∣ y = \log_{3} (x + 2)\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x ∣ - 2 < x \leq 2}$ B、 ${x ∣ - 2 < x < 2}$ C、 $\{x ∣ - 4 \leq x \leq 2\}$ D、 ${x ∣ - 4 \leq x < 2}$

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2. 棣莫弗公式 ${(\cos θ + i \sin θ)}^{n} = \cos n θ + i \sin n θ (n \in N^{*})$ 是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数 $ω = \cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6}$ ，则 $ω^{2} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$

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3. 设椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，分别为其左、右焦点，点 $P$ 为椭圆 $E$ 短轴的一个端点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为2，则椭圆 $E$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{2} = 1$

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4. 下列说法中不正确的是（）

A、一组数据47，48，49，53，54，56，58，59的上四分位数为57 B、在成对样本数据分析中相关系数 $r = 0$ ，表示两个变量之间没有线性相关关系 C、根据线性回归方程得到预测值为 ${\hat{y}}_{c} = 33.993$ 时的观测值为34，则残差为0.007 D、将总体划分为三层，通过分层抽样，得到三层的样本平均数和样本方差分别为 ${\bar{x}}_{1}$ ， ${\bar{x}}_{2}$ ， ${\bar{x}}_{3}$ 和 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ ， $s_{3}^{2}$ ，若 ${\bar{x}}_{1} = {\bar{x}}_{2} = {\bar{x}}_{3}$ ，则总体方差 $s^{2} = \frac{1}{2} (s_{1}^{2} + s_{2}^{2} + s_{3}^{2})$

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5. 函数 $f (x) = \sin x - x \cos x$ 在区间 $(- 3 π, 3 π)$ 上的极小值点个数为（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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6. 已知各项均为整数的数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{6} = - 2$ ， $a_{11} = 4$ ，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则 $a_{2026} =$ （）

A、 $2^{2016}$ B、 $2^{2017}$ C、 $2^{2018}$ D、 $2^{2019}$

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7. 公园某处有一个半径为40米的圆形水池，准备在水池中建两个喷泉.如图，设该圆形水池的圆心为O，A，B两点为喷泉， $C$ 为该圆形水池边缘任意一点，要求O，A，B三点共线，且 $O A = O B$ .若在该水池边缘任意一点 $C$ 处观察喷泉，观察角度 $∠ A C B$ 的最大值不小于 $\frac{π}{3}$ ，则A，B这两个喷泉间距离的最小值为（）

A、 $\frac{80 \sqrt{3}}{3}$ 米 B、 $\frac{40 \sqrt{3}}{3}$ 米 C、80米 D、40米

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8. 平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所有棱长都相等， $A B = 4$ ，点 $A_{1}$ 在底面 $A B C D$ 的投影为 $B D$ 中点，且直线 $A A_{1}$ 与底面 $A B C D$ 夹角为 $45^{\circ}$ ，则三棱锥 $A - A_{1} B D$ 的外接球被平面 $B C C_{1} B_{1}$ 截得的截面面积为（）

A、 $\frac{16 π}{3}$ B、 $4 π$ C、 $2 π$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - d > b - c$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、若 $0 < b < a$ 且 $c > 0$ ，则 $\frac{b}{a} < \frac{b + c}{a + c}$

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10. 若数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = a_{n} + 1$ ，在数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n + 2 (n \in N^{*})$ 项中任取两项都是正数的概率记为 $P_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{n} = {(- 1)}^{n - 1}$ B、 $P_{2} = \frac{1}{6}$ C、 $P_{2 n - 1} < P_{2 n}$ D、 $P_{2 n} < P_{2 n + 2}$

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11. 已知 $f (x), g (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，若 $h (x) = \{\begin{cases} f (x), f (x) \leq g (x) \\ g (x), f (x) > g (x) \end{cases}$ ，则（）

A、当函数 $f (x), g (x)$ 均为奇函数时， $h (x)$ 为奇函数 B、当函数 $f (x), g (x)$ 均为增函数时， $h (x)$ 为增函数 C、当函数 $f (x), g (x)$ 均有最小值时， $h (x)$ 有最小值 D、当函数 $f (x), g (x)$ 均有最大值时， $h (x)$ 有最大值

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 已知 $(x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - a)$ 的展开式中， $x^{3}$ 项的系数为-10，则 $a =$ .

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13. 已知点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 4$ 的左、右焦点， $M$ 为双曲线 $C$ 右支上任意一点，点 $N$ 的坐标为 $(2 \sqrt{2}, 1)$ ，则 $|M N| + |M F_{2}|$ 的最小值为.

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14. 已知 $M$ 是边长为7的等边三角形 $A B C$ 内一点（含边界）， $\vec{A M} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ， $\frac{7}{3} m + \frac{7}{5} n = 1$ ，则 $|\vec{A M}|$ 的取值范围为.

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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 在 $△ A B C$ 中，设内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足 $c \cos B + (2 a + b) \cos C = 0$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{3}$ ， $a + b = 4$ ，求 $\sin A \sin B$ 的值.

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16. 已知动圆 $Q$ 过定点 $P (4, 0)$ ，且在 $y$ 轴上截得的弦长为8，设动圆圆心 $Q$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $F (2, 0)$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，在 $x$ 轴上是否存在点 $N$ ，使得 $△ A B N$ 为等边三角形？若存在，求出相应直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由.

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17. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ .

(1)、若 $a = 3$ ，求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) - f (- x) \geq 0$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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18. 如图，在圆柱 $O O_{1}$ 中， $A B$ 是圆 $O$ 的一条直径， $C D$ 是圆柱 $O O_{1}$ 的母线，其中点 $C$ 与 $A$ ， $B$ 不重合， $\vec{B M} = \vec{M N} = \vec{N D}$ ， $A B = 2$ ， $C D = 3$ .

(1)、若平面 $C O M$ 和平面 $C A N$ 的交线为 $l$ ，证明： $l //$ 平面 $A B D$ ；

(2)、设平面 $C O M$ 、平面 $C A N$ 和底面圆 $O$ 所成的锐二面角分别为 $α$ 和 $β$ ，若 $α = β$ ，求平面 $A B D$ 和底面圆 $O$ 所成的锐二面角 $γ$ 的正切值.

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19. 某分布式存储系统中，数据块容量上限为 $N (N \in N^{*}, N \geq 2)$ ，数据块的初始数量为 $M (M \in N, M \leq N)$ .系统运行遵循以下规则：
①在每一时间步，系统以概率 $p (0 < p < 1)$ 执行清理操作（数据块的数量减 $1$ ），以概率 $1 - p$ 执行写入操作（数据块的数量加 $1$ ）；
②当数据块的数量为 $0$ （成功复位）或为 $N$ （内存溢出）时，系统运行立即终止.
记当数据块的数量为 $k (0 \leq k \leq N, k \in N)$ 时，系统最终以“成功复位”状态终止的概率为 $a_{k}$ .

(1)、直接写出 $a_{0}$ 、 $a_{N}$ 的数值，并写出 $a_{k - 1}$ 、 $a_{k}$ 、 $a_{k + 1} (1 \leq k \leq N - 1)$ 的关系式；

(2)、当 $p = \frac{1}{2}$ 时，比较系统最终以“成功复位”与“内存溢出”状态终止的概率大小关系；

(3)、已知：若随机变量 $X$ 的取值不会影响随机变量 $Y$ 的概率分布列，则称 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且满足 $E (X Y) = E (X) \cdot E (Y)$ .记 $X_{n}$ 为系统运行 $n$ 步后的数据块的数量（假设系统在此期间未终止）.当 $p \neq \frac{1}{2}$ 时，若 $E (λ^{x_{n}})$ 与 $n$ 无关，求正实数 $λ (λ \neq 1)$ 的值.

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