浙教版数学七年级下册常考题型分类同步练 3.4 乘法公式-平方差公式

试卷更新日期：2026-05-21 类型：同步测试

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一、平方差公式辨析

1. 下列各式中能用平方差公式计算的是（）

A、 $(x - y) (- x + y)$ B、 $(x + y) (- x - y)$ C、 $(- x - y) (x - y)$ D、 $(x - y) (x - y)$

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2. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（）

A、（α+b）（-α-l） B、（α+b）（b-a） C、（α-b）（b-α） D、（-a+b）（α-b）

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3. 下列各题中，适合用平方差公式计算的是（）

A、 $(3 a + b) (3 b - a)$ B、 $(\frac{1}{3} a + 1) (\frac{1}{3} a - 1)$ C、 $(a - b) (- a + b)$ D、 $(- a + b) (- a + b)$

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4. 下列不能使用平方差公式计算的是（ )

A、（a+b)（-a+b) B、（-a-b)（a-b) C、（-a+b)（-a-b) D、（a+b)（-a-b)

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二、平方差公式

5. 若等式（2a+3b）（）=4a²-9b².成立，则括号内所填的代数式是（）。

A、2a+3b B、-2a+3b C、-2a-3b D、2a-3b

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6. 下列各式中，计算结果为81－x²的是（　　)

A、（x＋9)（x－9) B、（x＋9)（－x－9) C、（－x＋9)（－x－9) D、（－x－9)（x－9)

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7. 计算： $(2 x - 5 y) (2 x + 5 y) =$ ．

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8. $101^{2} - 1 =$ ．

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9. 计算：

(1)、(a+2)(a-2)；

(2)、(3a+2b)(3a-2b)；

(3)、(-x-1)(1-x)；

(4)、(-4k+3)(-4k-3)。

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三、平方差公式的几何背景

10. 观察如图所示的图形，依据图形面积的关系，可以验证的一个乘法公式是（）

A、 $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ B、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ C、 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ D、 $a (a + b) = a^{2} + a b$

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11. 如图，在边长为 $a$ 的正方形的右下角，剪去一个边长为 $b$ 的小正方形 $(a > b)$ ，将余下部分拼成一个平行四边形，这一过程可以验证一个关于 $a$ ， $b$ 的等式为（）

A、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ B、 $a^{2} + a b = a (a + b)$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ D、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

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12. 如图，从图甲到图乙的变换过程中，能表示两个图形面积关系的等式是（）

A、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ B、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ C、 $a (a + b) = a^{2} + a b$ D、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

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13. 如图（1）所示，边长为 $a$ 的正方形中有一个边长为 $b (b < a)$ 的小正方形，如图（2）所示是由图（1）中的阴影部分拼成的一个长方形．

(1)、设图（1）中阴影部分的面积为 $S_{1}$ ，图（2）中阴影部分的面积为 $S_{2}$ ，请直接用含a，b的式子表示 $S_{1} =$ ______； $S_{2} =$ ______；写出上述过程所揭示的等式：______（用a，b表示）

(2)、直接应用：利用这个等式计算：
① $102 \times 98$ ；
② $(x - 10) (x + 10)$ ；

(3)、拓展应用：试利用这个公式求下面代数式的结果： $(2 + 1) \times (2^{2} + 1) \times (2^{4} + 1) \times (2^{8} + 1) \times (2^{16} + 1)$ ．

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14. 在边长为 $a$ 的正方形中剪去一个边长为 $b$ 的小正方形（ $a > b$ ）把余下的部分再剪拼成一个长方形．

(1)、如图1，阴影部分的面积是：                     ；

(2)、如图2，是把图1重新剪拼成的一个长方形（阴影部分），这个长方形的长是                  ，宽是                  ；

(3)、比较两阴影部分面积，可以得到一个等式是                              ；

(4)、运用你所得到的等式，计算： $99.8 \times 100.2$ ．

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15. 如图1，在一个边长为a的正方形木板上锯掉一个边长为b的正方形，并把余下的部分沿虚线剪开拼成图2的形状.
(1)请用两种方法表示阴影部分的面积
图1得：             ；图2得             ；
(2)由图1与图2 面积关系，可以得到一个等式：                 ；
(3)利用（2）中的等式，已知 $a^{2} - b^{2} = 16$ ，且a+b=8，则a-b=             .

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四、平方差公式应用

16. 若 $a = 2025^{2}$ ， $b = 2024 \times 2026$ ，则下列结论成立的是（）

A、 $a = b - 1$ B、 $a = b$ C、 $a = b + 2$ D、 $a = b + 1$

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17. $(1 - \frac{1}{2^{2}}) \times (1 - \frac{1}{3^{2}}) \times \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \times (1 - \frac{1}{10^{2}}) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{11}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{11}{20}$

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18. 若 $(a^{2} + b^{2} + 1) (a^{2} + b^{2} - 1) = 35$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ =（）

A、3 B、6 C、 $\pm 3$ D、 $\pm 6$

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19. 已知 $9 m^{2} - n^{2} = 24$ ，且 $3 m - n = 4$ ，则 $3 m + n =$ ．

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20. 计算：（x－1)（x＋1)（x²＋1)＝.

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21. 已知实数 $a, b$ 满足 $(2 a^{2} + b^{2} + 1) (2 a^{2} + b^{2} - 1) = 80$ ，则 $2 a^{2} + b^{2}$ 的值为．

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22. 先化简，再求值． $4 (a - 3 b) (a - b) - (2 a - b) (2 a + b)$ ，其中 $a = \frac{1}{2} ， b = 2$

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23. 数学课上在学习乘法公式应用时，王老师和同学们一起应用乘法公式计算：
$(2 - 1) (2 + 1) = 2^{2} - 1$
$(2 - 1) (2 + 1) (2^{2} + 1) = 2^{4} - 1$
$(2 - 1) (2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) = 2^{8} - 1$
请借鉴以上方法计算： $(3 + 1) (3^{2} + 1) (3^{4} + 1) (3^{8} + 1) =$ ．

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