浙教版数学七年级下册常考题型分类同步练 4.3 用完全平方公式分解因式

试卷更新日期：2026-05-20 类型：同步测试

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一、公式法分解因式

1. 下列各式：① $- x^{2} - y^{2}$ ；② $1 - \frac{1}{4} a^{2} b^{2}$ ；③ $a^{2} + a b + b^{2}$ ；④ $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ ；⑤ $x^{2} - x + \frac{1}{4}$ ，可以用公式法分解因式的有（　　）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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2. 下列各式中，为完全平方式的是（）

A、 $x^{2} - 2 x + 1$ B、 $x^{2} - x + 1$ C、 $x^{2} - x + 3$ D、 $x^{2} - m x + m^{2}$

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3. 下列式子是完全平方式的是（）

A、 $a^{2} + a b + b^{2}$ B、 $a^{2} + 2 a + 2$ C、 $a^{2} - 2 a + b^{2}$ D、 $a^{2} + 2 a + 1$

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4. 下列各式中，为完全平方式的是（）

A、 $x^{2} - 2 x - 1$ B、 $x^{2} - x + 1$ C、 $x^{2} - x + \frac{1}{4}$ D、 $x^{2} - m x + m^{2}$

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二、完全平方公式因式分解

5. 下列多项式中，哪些是完全平方式?将完全平方式进行因式分解。

(1)、 $m^{2} + 4 m + 4;$

(2)、 $m^{2} n^{2} - 4 + 4 m n;$

(3)、 $x + 1 + \frac{x^{2}}{4};$

(4)、 $9 p^{2} - 24 p q + 16 q^{2} 。$

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6. 分解因式：

(1)、 $x^{2} - 14 x + 49;$

(2)、 $- 64 x^{2} + 16 x y - y^{2};$

(3)、 $a^{2} + a b + \frac{1}{4} b^{2};$

(4)、 $0.04 a^{2} + 0.24 a + 0.36 。$

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7. 把下列各式分解因式：

(1)、 $4 a^{2} + 12 a b + 9 b^{2};$

(2)、 $- x^{2} + 4 x y - 4 y^{2};$

(3)、 $3 a x^{2} + 6 a x y + 3 a y^{2} 。$

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8. 用简便方法计算： $202 5^{2} - 4050 \times 2023 + 202 3^{2} 。$

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三、知完全平方公式求参数

9. 如果二次三项式 $m x^{2} + 12 x + 9$ 是一个完全平方式，则 $m$ 的值是（）

A、2 B、3 C、4 D、 $\pm 2$

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10. 若 $4 x^{2} - (m + 2) x + 9$ 是完全平方式，则m的值是(　　)

A、 $- 8$ B、 $10$ C、 $10$ 或 $- 14$ D、 $10$ 或 $- 8$

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11. 已知关于x的二次三项式 $x^{2} - 6 x + k$ 可以写成一个完全平方式，则k的值是（）

A、 $- 36$ B、36 C、 $- 9$ D、9

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12. 如果 $x^{2} - 2 (m + 1) x + 25$ 是一个完全平方式，那么 $m$ 的值是．

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13. 已知 $x^{2} + k x + 25$ 恰好可写成是一个整式的平方式，则 $k =$

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14. 小明做作业时，不小心把一滴墨水滴在一道数学题上，题目变成了：，看不清x前面的数字是什么，只知道这是一个完全平方式，请你判断这个被墨水遮住的数字可能是

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四、知完全平方公式求整式

15. 已知4x²+1加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，给出下面四个单项式：①4x﹐②-2x，②3-1，④4x⁴ ，其中满足条件的共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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16. 已知关于 $x$ 的代数式“ $4 x^{2} + A + 1$ ”是完全平方式，则 $A$ 应该是（）

A、 $4 x^{4}$ 或 $\pm 4 x$ B、 $\pm 4 x$ C、 $4 x$ D、 $- 4 x$

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17. 小萌在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，得到正确结果4x²+20xy+ ，不小心把最后一项染黑了，你认为这一项是(　　)

A、 $5 y^{2}$ B、 $10 y^{2}$ C、 $100 y^{2}$ D、 $25 y^{2}$

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18. 若 $25 x^{2} + 30 x y + k$ 是一个完全平方式，则k是（）

A、 $36 y^{2}$ B、 $9 y^{2}$ C、 $6 y^{2}$ D、 $y^{2}$

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19. 若 $x^{2} + m x + n$ 是一个完全平方式，则n等于（）

A、 $\frac{1}{8} m^{2}$ B、 $\frac{1}{4} m^{2}$ C、 $\frac{1}{2} m^{2}$ D、 $m^{2}$

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五、公式法的几何含义

20. 如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各10张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形．从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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21. 如图，用 $9$ 张 $A$ 类正方形卡片、 $4$ 张 $B$ 类正方形卡片， $12$ 张 $C$ 类长方形卡片，拼成一个大正方形，则拼成的正方形的边长为．

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22. 如图，有若干张的边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的三种纸片．

(1)、如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，其中 $a \neq 2 b$ ．请你将它们拼成一个大长方形（画出图示），并运用面积之间的关系，将多项式 $a^{2} + 3 a b + 2 b^{2}$ 分解因式．

(2)、已知长方形②的周长为6，面积为1，求小正方形①与大正方形③的面积之和．

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23. 如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，用剪刀沿图中虚线均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)、请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积（结果不化简）：
方法1：；方法2：．

(2)、观察图2，请写出 $m + n, m - n, m n$ ，三个式子之间的等量关系．

(3)、若 $2 a + b = 5, a b = 2$ ，结合（2）中的等量关系，求 $2 a - b$ 的值．

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24. 完全平方公式： ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若 $a + b = 3$ ， $a b = 1$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．
解：因为 $a + b = 3$ ，所以 ${(a + b)}^{2} = 9$ ，即： $a^{2} + 2 a b + b^{2} = 9$ ，
又因 $a b = 1$ ，所以 $a^{2} + b^{2} = 7$
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)、若 $x + y = 8$ ， $x^{2} + y^{2} = 40$ ，则 $x y$ 的值为______；

(2)、拓展：若 $(4 - x) x = 3$ ，则 ${(4 - x)}^{2} + x^{2} =$ ______．

(3)、应用：如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 20$ ， $B C = 12$ ，点E、F是 $B C$ 、 $C D$ 上的点，且 $B E = D F = x$ ，分别以 $F C$ 、 $C E$ 为边在长方形 $A B C D$ 外侧作正方形 $C F G H$ 和正方形 $C E M N$ ，若长方形 $C E P F$ 的面积为160，求图中阴影部分的面积和．

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