湖南永州市2026届高三第三次模拟考试数学试卷

试卷更新日期：2026-05-03 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $U = \{x \in N^{*} ∣ x < 9\}$ ， $A = \{3, 4, 5, 6\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 7, 8\}$ B、 $\{1, 2, 7, 8\}$ C、 $\{1, 2, 7, 8, 9\}$ D、 $\{0, 1, 2, 7, 8, 9\}$

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2. 已知函数 $f (x) = 2 sin (x - \frac{π}{6})$ ，则 $f (x)$ 的一个对称中心为（）

A、 $(\frac{π}{6}, 0)$ B、 $(\frac{π}{3}, 0)$ C、 $(\frac{2 π}{3}, 0)$ D、 $(\frac{5 π}{6}, 0)$

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3. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ， $P (X \leq 4) = 0.7$ ，则 $P (X \leq 0) =$ （）

A、0.7 B、0.6 C、0.5 D、0.3

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4. 某学校派甲、乙、丙、丁4名同学参加“永超”足球比赛中3个场次的志愿服务，每场比赛至少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，甲、乙两位同学不能参加同一场次，则不同派法的种数为（）

A、12 B、24 C、30 D、36

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5. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，则“ $a_{2} a_{6} > a_{3} a_{4}$ ”是“ $q > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知 $F$ 是抛物线 $C : x^{2} = 6 y$ 的焦点， $M$ 是 $C$ 上一点，直线 $F M$ 交 $x$ 轴于点 $N$ ．若 $M$ 为 $F N$ 的中点，则 $|F N| =$ （）

A、3 B、 $\frac{7}{2}$ C、4 D、 $\frac{9}{2}$

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7. 已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $2 sin β = cos (α + β) sin α$ ，则 $\tan β$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{12}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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8. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}, a_{n + 1} = ln (2 - \frac{1}{a_{n} + 1}) (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $0 < a_{2026} < \frac{1}{5052}$ B、 $\frac{1}{5052} < a_{2026} < \frac{1}{2027}$ C、 $\frac{1}{2027} < a_{2026} < \frac{1}{2026}$ D、 $\frac{1}{2026} < a_{2026} < \frac{1}{2}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知复数 $z = \frac{1 - i}{i}$ ，则（）

A、 $|z| = \sqrt{2}$ B、 $z$ 的虚部为 $- i$ C、 $z$ 在复平面内对应的点位于第二象限 D、 $z$ 为方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 的一个根

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10. 已知函数 $f (x) = ln x^{2} + |x| - \frac{1}{|x|}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、 $f (x)$ 有两个零点 C、不等式 $f (x) < f (2 - x)$ 的解集为 $(0, 1)$ D、若 $f (a) + f (b) = 0$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $2$

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11. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P B ⊥ P A$ ， $P B = 2 P A = 2 a$ ， $P C = b$ ， $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $O$ 为 $△ A B C$ 的垂心，且 $P O = 1$ ，则（）

A、 $P C ⊥$ 平面 $P A B$ B、 $\frac{5}{4 a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = 1$ C、三棱锥 $P - A B C$ 体积的最小值为 $\frac{5 \sqrt{3}}{8}$ D、三棱锥 $P - A B C$ 外接球表面积的最小值为 $\frac{25 π}{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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13. 已知曲线 $y = a x ln x$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 相切，则 $a =$ ．

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14. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0)$ 为 $C$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 的直线交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点， $△ A F_{1} F_{2}$ 的面积为 $b c$ ， $△ A B F_{1}$ 的内切圆与 $A B$ 相切于点 $N$ ，若 $\vec{A B} = 6 \vec{A N}$ ，则 $C$ 的离心率为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $B C / / A D$ ， $P A = A D = 2 B C = 2 C D$ ， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $E$ ， $\vec{B P} = 3 \vec{B F}$ ．

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求直线 $B D$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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16. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $3 b cos C + 3 c cos B - 5 a cos A = 0$ ．

(1)、求 $cos 2 A$ ；

(2)、若 $a = 4$ ， $△ A B C$ 的内切圆半径为1，求 $△ A B C$ 的面积．

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17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F_{1} (- 2, 0)$ ， $F_{2} (2, 0)$ 、动点 $P$ 满足 $| | P F_{1} | - | P F_{2} | | = 2$ ， $\vec{O Q} = 2 \vec{O P}$ ，记点 $Q$ 的轨迹为曲线 $E$ ．

(1)、求 $E$ 的方程：

(2)、已知点 $M (4, 0)$ ， $N (t, 0)$ ，过点 $M$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点，设直线 $N A$ ， $N B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $\frac{1}{k_{1}}$ ， $- \frac{1}{k}$ ， $\frac{1}{k_{2}}$ 成等差数列，求 $t$ ．

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18. 甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率为 $\frac{2}{3}$ ，乙每次投篮的命中率均为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、若甲单独投篮，规定：首次出现连续两次命中，则停止投篮．求甲投篮4次即停止投篮的概率；

(2)、若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的投球总数．规定：首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负，比赛也停止．记 $X$ 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量 $X$ 的分布列与数学期望；

(3)、若甲单独投篮，规定：首次出现连续 $n (n \in N^{*})$ 次命中，则停止投篮．设停止投篮时甲投篮总次数为 $Y_{n}$ ，随机变量 $Y_{n}$ 的数学期望为 $E (Y_{n})$ ，记 $a_{n} = E (Y_{n})$ ．写出 $a_{n}$ 与 $a_{n - 1} (n \geq 2)$ 的递推关系，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - 1 (a \in R)$ 有唯一的极值点 $x_{0}$ ．

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是 $f (x)$ 的两个零点，记 $A (x_{1}, 0)$ ， $B (x_{2}, 0)$ ， $C (x_{0}, f (x_{0}))$ ．
（i）证明： $x_{0} < f (x_{0})$ ；
（ii）判断 $△ A B C$ 是否可能为直角三角形，并说明理由．

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