浙教版数学七年级下册常考题型分类同步练 4.3 用平方差公式分解因式

试卷更新日期：2026-05-20 类型：同步测试

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一、平方差公式分解因式

1. 下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（ )

A、 $a^{2} + 9$ B、 $- a^{2} + 9$ C、 $- a^{2} - 9$ D、 $a^{2} - 6 a + 9$

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2. 因式分解x $_{}^{2}$ －9y $_{}^{2}$ 的正确结果是( )

A、(x+9y)(x－9y) B、(x+3y)(x－3y) C、(x－3y) $_{}^{2}$ D、(x－9y) $_{}^{2}$

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3. 把多项式 $（ a - 1 ）^{2} - 4$ 分解因式，结果正确的是（）

A、 $（ a - 1 ）（ a + 3 ）$
B、 $（ a + 3 ）（ a - 5 ）$
C、 $（ a + 5 ）（ a - 3 ）$
D、 $（ a + 1 ）（ a - 3 ）$

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4. 若多项式 $x^{2} - m$ 可以用平方差公式分解因式，则 $m$ 的值可以为（）

A、6
B、-6
C、9
D、-9

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5. 下列各式能用平方差公式分解因式的有（填序号）.
①x²+y²；②x²-y²；③-x²+y²；④-x²-y²；⑤ $1 - \frac{1}{4} a^{2} b^{2}$ ；⑥x²-4.

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6. 下列各式能用公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 分解因式吗?a，b分别表示什么?把下列各式分解因式。

(1)、 $x^{2} - 1;$

(2)、 $m^{2} - 9;$

(3)、 $x^{2} - 4 y^{2} 。$

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7. 下列多项式可以用平方差公式分解因式吗?说说你的理由。
$(1) 4 x^{2} + y^{2};$ $(2) 4 x^{2} - {(- y)}^{2};$ $(3) - 4 x^{2} - y^{2};$
$(4) - 4 x^{2} + y^{2};$ $(5) a^{2} - 4;$ $(6) a^{2} + 3 。$

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8. 分解因式：

(1)、x²-x

(2)、a²-4

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9. 因式分解：

(1)、 $4 x^{2} - 2 x y$ ；

(2)、 ${(a + b)}^{2} - c^{2}$ ．

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10. 分解因式：

(1)、 $25 - x^{2};$

(2)、 $16 a^{2} - 9 b^{2};$

(3)、 $- \frac{1}{4} a^{2} b^{2} + c^{2};$

(4)、 $0.01 s^{2} - t^{2} 。$

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二、平方差公式因式分解应用

11. 一个长方形的面积为 $x^{2} - 121 (x > 11)$ ，若它的宽为 $x - 11$ ，则它的长为（）

A、 $x - 11$
B、 $x + 11$
C、 $x - 121$
D、 $x + 121$

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12. 任意两个奇数的平方差总能（）

A、被3整除 B、被5整除 C、被6整除 D、被8整除

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13. 小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣b ， x﹣y ， x+y ， a+b ， x²﹣y² ， a²﹣b²分别对应下列六个字：勤，健，奋，美，励，志，现将（x²﹣y²）a²﹣（x²﹣y²）b²因式分解，结果呈现的密码信息应是（　　）

A、勤奋健美 B、健美励志 C、励志勤奋 D、勤奋励志

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14. 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为 “幸福数”．下列数中为 “幸福数”的是（）

A、285
B、330
C、512
D、582

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15. 对于任何整数m，多项式 ${(3 m + 5)}^{2} - 16$ 一定能被（　　）

A、3整除 B、4整除 C、5整除 D、m整除

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16. 填空：

(1)、 $251^{2} - 249^{2} = （ 251 +$ ）（251-） $=$ $\times$ .

(2)、 $99^{2} - 198 \times 101 + 101^{2} =$ .

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17. 用简便方法计算：

(1)、 $99 9^{2} - 99 8^{2};$

(2)、 $81 . 5^{2} - 78 . 5^{2} 。$

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18. 问题：把 $x^{4} + 4$ 分解因式．
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
19 世纪的法国数学家苏菲 $\cdot$ 热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和 ${(x^{2})}^{2} + 2^{2}$ 的形式，要使用完全平方公式就必须添一项 $4 x^{2}$ ，于是将此项 $4 x^{2}$ 减去，即可得 $x^{4} + 4 =$ $x^{4} + 4 x^{2} + 4 - 4 x^{2} = {(x^{2} + 2)}^{2} - 4 x^{2} = {(x^{2} + 2)}^{2} - (2 x)^{2} = (x^{2} + 2 x + 2) (x^{2} - 2 x + 2)$ ．
人们为了纪念苏菲 $\cdot$ 热门给出这一解法，把它叫做 “热门定理”．请你依照苏菲 $\cdot$ 热门的解法，将下列各式分解因式：

(1)、 $x^{4} + 4 y^{4}$ ．

(2)、 $x^{2} - 2 a x - 2 a b - b^{2}$ ．

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三、化简求值

19. 若 $a + b = 3 ， a - b = 7$ ，则 $a^{2} - b^{2}$ 的值为（）

A、-21
B、21
C、-10
D、10

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20. 已知 $2 a + b = 6$ ，则代数式 $4 a^{2} - b^{2} + 12 b$ 的值为（）

A、30 B、36 C、42 D、48

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21. 已知 $a^{2} - b^{2} = 15$ ， $a + b = 3$ ，则 $a - b$ 的值是．

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22. 若 $a - b = 2$ ，则 $a^{2} - b^{2} - 4 b =$ ．

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23. 若 $2 x + 2 y = 4$ ， $x^{2} - y^{2} = 6$ ，则 $x - y =$ ．

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24. 已知a+2b=5，a-2b=3，求5a²- 20b²的值．

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