浙江省宁波市2025-2026学年第二学期高考模拟考试高三数学试题

试卷更新日期：2026-04-18 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数 $z = (1 + i) (- 1 + 2 i)$ 的虚部为（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、1 D、3

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2. 集合 $U = \{x \in Z ∣ |x| \leq 3\}, A = \{0, 1, 2, 3\}$ ，则 $∁_{U} A$ 中的元素个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 已知 $a > 0, b > 0$ ，则“ $a b > 4$ ”是“ $a + b > 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为1，则 $|\vec{A B} + \vec{B C} - \vec{D B}| =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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5. 某中学校园十佳歌手比赛中，7位评委对某歌手的评分分别为 $8.5, 8.6, 8.8, 9.2, 9.4, 9.5, 9.7$ ，记为数组 $A$ ，将数组 $A$ 中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5个有效评分记为数组 $B$ ，对这两个数组进行比较，有（）

A、极差相同 B、方差相同 C、 $60 %$ 分位数相同 D、平均数相同

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6. 在钝角 $△ A B C$ 中， $b = 8, c = 7, C = 60^{\circ}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $8 \sqrt{3}$ D、 $10 \sqrt{3}$

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7. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - \frac{2}{x} - 1, - 2 \leq x < 0 \\ ln x, x > 0 \end{array}$ ，设 $a, b, c$ 是三个不同的实数，且满足 $f (f (a)) = f (f (b)) = f (f (c))$ ，则 $a + b + c$ 的最小值为（）

A、 $e^{2} - 1$ B、 $e - 1$ C、 $e^{2} - 1 + \frac{1}{e}$ D、 $e - 1 + \frac{1}{e^{2}}$

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8. 数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} a_{n - 1} + a_{n - 2} (n > 2), S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则（）

A、 $a_{2026} = 1$ B、 $a_{2026} = 2026$ C、 $S_{2026} = 1$ D、 $S_{2026} = 2026$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 若 $a, b$ 是两个不相等的正实数，则双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1$ 的（）

A、实轴长相等 B、焦距相等 C、离心率相同 D、渐近线相同

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10. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $f (1) = 1, f (x + y) = f (x) f (1 - y) + f (1 - x) f (y)$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (\frac{1}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $f (1 - x) = f (1 + x)$ D、 $f (x + 2) = f (x)$

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11. 正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的高为 $2$ ， $A_{1} B_{1} = 2$ ， $A B = 8$ ，点 $M, N, P$ 均在平面 $B_{1} A C$ 内，且直线 $D_{1} P$ 与 $M N$ 夹角的正切值的最小值为 $2 \sqrt{2}$ ，则（）

A、点 $P$ 的轨迹的长度为 $\frac{2 \sqrt{6} π}{3}$ B、直线 $D_{1} A_{1}$ 与 $D_{1} P$ 所成角的正切值的最小值为 $\frac{6}{5}$ C、线段 $P C_{1}$ 的长度的最小值为 $\sqrt{2}$ D、点 $P$ 到直线 $B_{1} C_{1}$ 的距离大于 $\frac{2}{3}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 若 $tan (α - \frac{π}{4}) = 3$ ，则 $tan α =$ .

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13. 在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若 $S_{3} = 6, S_{5} = 20$ ，则 $S_{7} =$ .

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14. 如图，已知定点 $B (2, - 2), B C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ， $M$ 是线段 $O B$ 上任意一点， $M D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ， $M E ⊥ B C$ 于点 $E, O E$ 与 $M D$ 相交于点 $P$ ，则 $|P D| + |P C|$ 的最小值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{6}) + sin (2 x - \frac{π}{6}) + 2 {cos}^{2} x + m$ 的最大值为1.

(1)、求常数 $m$ 的值；

(2)、求使 $f (x) \geq 0$ 成立的 $x$ 的取值集合.

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16. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、已知点 $P (2, - 1)$ ，斜率为 $- \frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于 $A, B$ 两点.当 $△ P A B$ 的面积最大时，求直线 $l$ 的方程.

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17. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = \frac{π}{3}, A C = 4, B C = 2, M$ 为 $A C$ 的中点，如图，沿 $B M$ 将 $△ C M B$ 翻折至 $△ D M B$ 位置，满足 $D A = \sqrt{10}$ .

(1)、证明：平面 $D M B ⊥$ 平面 $A B M$ ；

(2)、线段 $A B$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $P$ 在平面 $D A M$ 内的射影恰好落在直线 $D M$ 上.若存在，求出 $A P$ 的长度；若不存在，请说明理由.

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18. 某自动文本生成工具存在两种常见状态：状态1为生成状态，在此状态下，工具根据用户输入的提示､主题或参数，利用预训练模型生成文本内容；状态2为优化状态，在此状态下，工具对已生成的文本进行校对､润色､改写或结构优化.已知该文本生成工具能自动进行状态切换或保持，每进行一次状态切换或保持称为一次自动操作.假设首次（第一次）自动操作后处于状态1和状态2的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，且之后每次自动操作后所处的状态仅与操作前的状态有关，与更早的状态无关. $p_{i j} (i, j \in \{1, 2\})$ 表示从第二次自动操作开始，每次自动操作时从状态 $i$ 到状态 $j$ 的概率，若 $p_{11} = \frac{2}{3}, p_{21} = \frac{1}{3}$ ，且 $p_{11} + p_{12} = 1, p_{21} + p_{22} = 1$ .

(1)、记前2次自动操作后的状态中状态为1的次数为 $X$ ，
（i）求前2次自动操作后的状态中第一次状态为1，第二次状态为2的概率；
（ii）求随机变量 $X$ 的期望 $E (X)$ ；

(2)、记事件 $Q_{k}$ ：前 $2 k (k \in N^{*})$ 次自动操作后的状态中状态1和状态2均为 $k$ 次，当 $k \geq 3$ 时，证明： $P (Q_{k}) \geq \frac{1}{3} P (Q_{k - 1}) + \frac{4}{27} P (Q_{k - 2})$ .

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19. 设 $a > 0, a \neq 1$ ，函数 $f (x) = a^{x} + b, g (x) = {log}_{a} (x - b)$ .

(1)、若 $a = e, b = e^{2}$ ，求 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处的切线方程；

(2)、若 $a > 1, b = e^{2}$ ，若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象有两个公共点，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若存在 $a \in (0, 1)$ ，使得 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象有三个公共点，求实数 $b$ 的取值范围.

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