四川成都市2025-2026学年高三下学期定时练习数学试题

试卷更新日期：2026-05-02 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{0, 1, 2\}, B = \{x |2^{x} < 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{1\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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2. 设复数z满足 $z (1 + i) = 2$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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3. 已知点 $A (\frac{π}{4}, 0), B (\frac{3 π}{4}, 0)$ 为函数 $f (x) = cos (ω x + φ)$ 图象上的两个相邻对称中心，则 $f (x)$ 的最小正周期为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $\frac{3 π}{2}$ D、 $2 π$

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4. 某校高三年级有男生300人，女生200人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该校全体高三学生中抽取一个容量为100的样本，如果样本按比例分配，得到男生､女生的平均身高分别为 $175 cm$ 和 $165 cm$ ，则估计该校高三年级学生的平均身高为（）

A、 $169 cm$ B、 $170 cm$ C、 $171 cm$ D、 $172 cm$

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5. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n} a_{n + 1} = 2 a_{n} - 2 a_{n + 1}$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{7}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{2}{9}$

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6. 若圆 $C$ 过点 $M (0, 2)$ ，且与 $x$ 轴相切，则圆心 $C$ 的轨迹方程为（）

A、 $x^{2} = 4 y$ B、 $x^{2} = 8 y$ C、 $x^{2} = 4 (1 - y)$ D、 $x^{2} = 4 (y - 1)$

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7. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2}), sin α - cos α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{24}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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8. 若函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - m (m + 2) x + 1$ 在区间 $(- 7, 7)$ 上有最大值，则正整数 $m$ 的值有（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知平面向量 $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (1, - 1)$ ，则（）

A、 $|\vec{a} + \vec{b}| = 2$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ C、 $(2 \vec{a} + \vec{b})$ $/ /$ $(\vec{a} - 2 \vec{b})$ D、 $< \vec{a}, \vec{a} - \vec{b} > = \frac{π}{4}$

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{m + 2} = 1 (m > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， $P$ 为双曲线上一点，若 $A (3, 2)$ ， $B (2, 3)$ ， $C (- 2, 3)$ ， $D (- 2, - 3)$ 中有且仅有 $3$ 个点在双曲线上，则（）

A、双曲线的渐近线斜率为 $\pm \sqrt{3}$ B、 $|C F_{1}| + |C F_{2}| = 2$ C、 $△ B D F_{1}$ 的面积为 $6$ D、 $|A P| + |P F_{2}|$ 的最小值为 $\sqrt{29} - 2$

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11. 若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (x + 4) = 0, f (2 x + 2)$ 是偶函数， $f (1) = 1$ ，则（）

A、 $f (- 3) = - 1$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 D、 $\sum_{k = 1}^{100} k f (2 k - 1) = - 100$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知 $a, b, c$ 成等比数列，且 $a < b < c$ ，若 $a + b + c = 14, a b c = 64$ ，则 $a =$ .

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13. 已知圆台的底面半径分别为1和2，高为 $\sqrt{3}$ ，底面圆周均在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的表面积为.

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14. 已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}, B = \{1, 2, 3, 4\}$ ，若函数 $f : A \to B$ 满足： $\forall x_{1}, x_{2} \in A$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq 2$ ，则符合条件的函数共有个.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a cos B + b cos A = 2 c cos C$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $a = 2 b, c = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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16. 2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的 $30.4 %$ ，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图.
年份
2021
2022
2023
2024
2025
年份代码 $x$
1
2
3
4
5
我国全口径发电量 $y$ （单位：万亿千瓦时）
8.52
8.85
9.46
10.09
10.58

(1)、由散点图看出，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，请用相关系数加以说明；

(2)、建立 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量.
参考数据： $\bar{y} = 9.5, \sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 2.9, \sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 147.86, \sqrt{29} \approx 5.39$ .
参考公式：回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ .

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17. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ， $A B = 2$ ，将 $△ A B C$ 沿 $A C$ 翻折至 $△ A P C$ ，连接 $P D, P B$ 构成四棱锥 $P - A B C D$ ．

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若二面角 $P - A C - B$ 的余弦值为 $- \frac{1}{3}$ ．
①求 $P B$ 的长；
②设 $P$ 在平面 $A B C D$ 上的射影为 $Q$ ，直线 $C Q$ 与 $A D$ 交于 $E$ 点， $F$ 为 $P B$ 的中点，证明： $E F //$ 平面 $P C D$ ．

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18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左焦点为 $F$ .

(1)、求 $C$ 的离心率；

(2)、 $P (x_{0}, y_{0}) (y_{0} \neq 0)$ 为 $C$ 上一点， $C$ 在 $P$ 处的切线为 $l$ .
①证明： $l$ 的方程为 $\frac{x_{0} x}{4} + \frac{y_{0} y}{3} = 1$ ；
②设 $C$ 的右顶点为 $A, l$ 交直线 $m : x = 2$ 于点 $Q, P A$ 与 $F Q$ 交于点 $R, O$ 为坐标原点，求 $|O R|$ 的最小值.

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19. 设函数 $f (x) = sin x$ .

(1)、当 $x > 0$ 时，证明： $f (x) < x$ ；

(2)、已知函数 $g (x) = k f (x) - e^{x} - ln (x + 1) + 1$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 内存在极值点 $α$ .
①求 $k$ 的取值范围；
②是否存在 $β \in (0, π)$ ，使 $g (β) = 0$ ？若存在，比较 $β$ 与 $2 α$ 的大小；若不存在，请说明理由.

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年份	2021	2022	2023	2024	2025
年份代码 $x$	1	2	3	4	5
我国全口径发电量 $y$ （单位：万亿千瓦时）	8.52	8.85	9.46	10.09	10.58