北京市朝阳区2025-2026学年高三年级第二学期质量检测二数学试卷

试卷更新日期：2026-05-06 类型：高考模拟

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 已知集合 $M = {x ∣ x > 0}$ ，集合 $N = {x ∣ x^{2} < 1}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $(- 1, + \infty)$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(0, 1)$

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2. 已知复数 $z = \frac{1 - 2 i}{i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、5

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3. 在 ${(1 + x)}^{6}$ 的展开式中，各项系数的最大值是（）

A、6 B、15 C、20 D、35

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4. 已知双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - x^{2} = 1 (a > 0)$ 的一条渐近线与直线 $4 x + a y - 1 = 0$ 平行，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $M$ 为线段 $B C$ 的中点， $\vec{C N} = \frac{1}{4} \vec{C A}$ ， $\vec{M N} = k_{1} \vec{A B} + k_{2} \vec{A C} (k_{1} ， k_{2} \in R)$ ，则 $\frac{k_{1}}{k_{2}} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、2

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6. 设 $m \in R$ ，则“ $sin m = 0$ ”是“函数 $y = cos 2 x$ 的图象关于直线 $x = m$ 对称”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 某圆锥的轴截面（通过轴的平面所得到的截面）是面积为 $4 \sqrt{3}$ 的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $32 π$ B、 $16 π$ C、 $12 π$ D、 $8 π$

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8. 某电子产品的电池健康度 $E$ 随循环次数 $n$ 衰减的函数模型为 $E (n) = A e^{- k n} + 30$ ，其中 $A, k$ 为常数， $A > 0, k > 0, n \in Ν$ ．已知 $E (0) = 100, E (100) = 80$ ，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（）
（参考数据： $ln 3 \approx 1.10, ln 5 \approx 1.61, ln 7 \approx 1.95$ ）

A、120 B、150 C、170 D、180

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9. 设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{x} - k ， x < 0 ， \\ ln x + 1 - k ， x > 0 ． \end{array}$ 若关于 $x$ 的方程 $f (x) = k x - 1$ 恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数 $k$ 的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10. 在四面体 $O A B C$ 中， $O A ⊥ B C$ ， $H \in$ 平面 $A B C$ 且 $O H ⊥$ 平面 $A B C$ ，给出下列三个结论：
①若 $O B ⊥ A C$ ，则 $\vec{C H} \cdot \vec{A B} = \vec{A H} \cdot \vec{B C} = \vec{B H} \cdot \vec{A C}$ ；
②若 $A B = A C$ ，则 $\vec{C H} \cdot \vec{A B} = 0$ ；
③若 $O B = O C$ ，则 $\vec{B H} \cdot \vec{A B} = \vec{C H} \cdot \vec{A C}$ ．
其中所有正确结论的序号是（）

A、③ B、①③ C、①② D、①②③

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二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 顶点在原点，关于 $y$ 轴对称，且过点 $(2, 1)$ 的抛物线的标准方程是．

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12. 已知直线 $l ： y = k (x - 1)$ 与圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 交于 $A, B$ 两点；能使 $∠ A C B$ 为锐角的 $k$ 的一个取值为．

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13. 已知函数 $f (x) = cos (π x + \frac{π}{3})$ ．若对任意实数 $x$ 都有 $f (a) \leq f (x) \leq f (b)$ ，则 $|a - b|$ 的最小值为．

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14. 《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的数学典籍，书中记载了大数与大数进制，其中十个大数分别记为亿、兆，京、垓、秭、穰、沟、涧、正、载，大数进制中的“上数”进制为重进制（自乘）：“万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也”，即1亿 $= 1$ 万 $\times 1$ 万 $= 10^{8} ， 1$ 兆 $=$ 1亿 $\times 1$ 亿 $= 10^{16} ， 1$ 京 $= 1$ 兆 $\times 1$ 兆 $= 10^{32}$ ，以此类推．若按“上数”进制，记第 $n$ 个大数（第1个为亿，第2个为兆，第3个为京，……，第10个为载）对应的数值为 $a_{n}$ ，则 $lg a_{5} =$ ；若 $a_{1} a_{2} \dots a_{k} > 10^{1000}$ ，则正整数 $k$ 的最小值为．

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15. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2025 x - 2025, g (x) = x^{3} + 2026 x - 2026, h (x) = x^{3} + 2026 x - 2025$ ．给出下列四个结论：
①曲线 $y = h (x)$ 是中心对称图形；
②当 $x \in (0, 1)$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在曲线 $y = g (x)$ 的上方；
③当 $x \in R$ 时， $g (x + 2) - g (x + 1) > g (x + 1) - g (x)$ ；
④设正实数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 分别是 $f (x), g (x), h (x)$ 的零点，则 $x_{3} < x_{1} < x_{2}$ ．
其中正确结论的序号是

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三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16. 在 $△ A B C$ 中， $b cos C = - 2$ ， $c sin B = 2 \sqrt{15}$ ．

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、已知 $△ A B C$ 的面积为 $8 \sqrt{15}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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17. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为正方形，且 $D E ⊥$ 平面 $A B C D, B F / / D E$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ E F$ ；

(2)、若 $A D = 2 ， D E = 1$ ，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得多面体 $A B C D E F$ 唯一确定，求平面 $A B F$ 与平面 $A E F$ 夹角的余弦值．
条件①： $F A = F C$ ；
条件②：直线 $A F$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ；
条件③： $△ A F C$ 的面积为 $2 \sqrt{7}$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 2026年春季，北方进入花粉过敏高发期．某市疾控中心针对该市青少年春季花粉过敏情况开展专项调查．现从该市青少年中随机抽取2000人作为样本，统计样本中不同过敏程度的人数，得到下表：
过敏程度
无过敏
轻度过敏
中度过敏
重度过敏
极重度过敏
城区
$a$
220
180
150
50
郊区
500
120
80
70
30
用频率估计概率．

(1)、从该市青少年中随机抽取一人，估计此人春季花粉“无过敏”的概率；

(2)、从该市城区和郊区的青少年中各随机抽取2人，估计抽到的青少年中恰有一人春季花粉“无过敏”的概率；

(3)、该市疾控中心规定过敏程度评分如下表：
过敏程度
无过敏
轻度过敏
中度过敏
重度过敏
极重度过敏
过敏程度评分
0
1
2
3
4
该市疾控中心对该市A、B两个地区同步开展调查，已知A地区与B地区青少年人数之比为3：2， $A$ 地区青少年的过敏程度平均评分为 $1.2$ ， $B$ 地区青少年的过敏程度平均评分为0.6．疾控中心对这两个地区的青少年开展专项过敏防护干预，干预后A地区青少年的过敏程度平均评分降低了 $p % ， B$ 地区青少年的过敏程度平均评分不变．记 $μ$ 为干预后这两个地区青少年的过敏程度平均评分．若干预后 $μ \leq 0.92$ （该市青少年的过敏程度平均评分），直接写出 $p$ 的最小正整数值．（结论不要求证明）

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19. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长与短轴长之和为6，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为原点，点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 分别为椭圆 $E$ 上位于第一象限，第二象限内的点，且 $x_{1} = 2 y_{2}$ ．当点 $M$ 满足 $\vec{O M} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{O B}$ 时，求证：点 $M$ 在椭圆 $E$ 上．

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20. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} - a ln x (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a = e - \frac{1}{e}$ 时，求满足 $f (x) > 0$ 的 $x$ 的取值范围；

(3)、当 $a \leq 2$ 时，判断曲线 $y = f (x)$ 上是否存在两个不同的点关于点 $(1, 0)$ 对称，并说明理由．

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21. 已知无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正整数，无穷数列 $\{b_{n}\}$ 满足以下性质：
① $b_{1} = 0 ， b_{2} = 1$ ；
② $b_{n + 2} = \{\begin{array}{l} a_{n + 1} b_{n + 1} + b_{n} ， a_{n} = 1 ， \\ a_{n + 1} b_{n + 1} - b_{n} ， a_{n} > 1 ． \end{array}$

(1)、若 $a_{1} = 2 ， a_{2} = 2 ， a_{3} = 1 ， b_{5} = 5$ ，求 $b_{3} ， b_{4} ， a_{4}$ ；

(2)、证明： $b_{5} \geq 1$ ；

(3)、是否存在大于1的正整数 $n$ ，使得 $b_{n} < 1$ 成立？说明理由．

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过敏程度	无过敏	轻度过敏	中度过敏	重度过敏	极重度过敏
城区	$a$	220	180	150	50
郊区	500	120	80	70	30