几何轨迹—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题

试卷更新日期：2026-05-15 类型：三轮冲刺

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一、尺规作图

1. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，AD 是斜边 BC上的中线，过点A作射线AE∥BC.

(1)、尺规作图：在射线AE上找一点 F，连结CF，使得CF=BC(不写作法，保留作图痕迹).

(2)、根据(1) 的作法，若AD=1，求AF的长.

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2. 如图，AB是圆的一条弦(不是直径).仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法.

(1)、作圆心O和 $\hat{A B}$ 的中点 M.

(2)、连结OM，交AB于点 N，若AB=4， ON=3，求⊙O的半径.

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3. 在等腰 $A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 是 $A B$ 的中点，要求用尺规作图的方法在 $B C$ 上找一点 $E$ ，连结 $D E$ ，使得 $D E = \frac{1}{2} A B$ ．现有甲、乙、丙三位同学的做法如下：

(1)、①做法正确的同学有___________；
②请选择你认为正确的一种做法给出证明；

(2)、用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法．

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4. 如图， $A C$ 是矩形 $A B C D$ 的对角线．

(1)、用圆规和无刻度的直尺作 $A C$ 的垂直平分线，分别交 $B C$ ， $A D$ 于点 $E$ ， $F$ ；

(2)、在（1）条件下，若 $C D = 3, A D = 6$ ，求 $D F$ 的长．

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5. 如图，点P是 $∠ A B C$ 平分线上的一点，点M是射线 $B C$ 上的一点（异于点B），连结MP，
在射线B上用尺规作图的方法找一点N，使 $△ B P N ≌ △ B P M$ ．下面有两种作图方法．
方法1：以B为圆心， $B M$ 为半径作弧，交射线 $B A$ 与N，连结 $P N$ ，则 $△ B P N ≌ △ B P M$ ．
方法2：以P为圆心， $P M$ 为半径作弧，交射线 $B A$ 与N，连结 $P N$ ，则 $△ B P N ≌ △ B P M$ ．

(1)、请选择你认为正确的方法作出图形，并证明；

(2)、直接写出当 $∠ P M B$ 的大小满足什么条件时，两种方法都正确．

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6. “连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的等弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图．

(1)、若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“ 连弧纹镜”；

(2)、请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法）

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7. 某公园有一座古塔（如图 1)，数学兴趣小组借助皮尺和测角仪测量该古塔的高度.图 2是该小组根据测量方案绘制的部分几何图形.
步骤一：在点 A 处，测得塔尖 C的仰角为37°；
步骤二：从点 A 出发，向前走 15m到达点 B 处.此时在 B处测得塔尖 C的仰角为45°.点 D是塔尖 C在地平线AB上的正投影.

(1)、尺规作图：作出表示古塔高度的线段CD，并说明作图原理；（保留作图痕迹，不要求写作法)

(2)、根据测量数据，计算古塔的高度.（参考数据： $s i n 3 7^{\circ} \approx 0.60, c o s 3 7^{\circ} \approx 0.80, t a n 3 7^{\circ} \approx 0.75)$

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二、网格作图

8. 如图，边长为1的小正方形组成的网格中，已知点A，B在网格的格点上。

(1)、在图1中，画一个以AB为边，顶点都在格点上，面积为6的平行四边形ABCD：

(2)、在图2中，画一个以AB为对角线，顶点都在格点上，面积为6的平行四边形AEBF。

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9. 如图，平行四边形ABCD的顶点均在格点上，找到格点P，使BP平分∠ABC.画法1：在AD边上找到格点P，使AP=AB.
画法2：在BC边上找到格点E，使BE=AB，连结AE，找到格点P.

(1)、请根据上述画法分别在图1和图2中标出格点P，连结BP.
图1

(2)、从两种画法中选择一种证明BP平分∠ABC.
图2

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10. 图1、图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，分别按要求在网格内画出格点图形（顶点均在格点上）．

(1)、在图1中作一个以 $A B$ 为腰的等腰 $△ A B C$ ．

(2)、在图2中以 $A B$ 为边画一个平行四边形 $A B C D$ ．

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11. 图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC内接于⊙O ，且点A ， B ， C ， O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．

(1)、在图①中找一个格点D（点D不与点C重合）；画出∠ADB ，使∠ADB＝∠ACB ．

(2)、在图②中找一个格点E ，画出∠AEC ，使∠AEC+∠ABC＝180°．

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12. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣4，0），C（﹣4，﹣4），以原点O为位似中心，在y轴的右侧，画出△ABC的位似图形△A^'B^'C^' ，使它与△ABC的相似比为1：2．

(1)、请画出△A^'B^'C^'；

(2)、若点M（a ， b）为AC边上一点，则点M的对应点M^'的坐标是；

(3)、△A^'B^'C^'的面积为．

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三、直尺作图

13. 如图，在 $⊙ O$ 上有 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点， $∠ A = 70 °$ ，不使用圆规，只用无刻度的直尺作出符合下列要求的角，保留作图痕迹．

(1)、请在图中作一个 $110 °$ 的圆周角，记为 $∠ 1$ ．

(2)、请在图中作一个 $40 °$ 的圆心角，记为 $∠ 2$ ．

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14. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点E、F分别在边 $A D 、 B C$ 上，且 $A E = C F$ ，连结 $E F$ ，请仅用无刻度的直尺画出线段 $E F$ 的中点O，并说明这样画的理由．

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15. 作图题： $⊙ O$ 上有三个点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $∠ A B C = 50 °$ ，请只用无刻度的直尺作出符合要求的角，并写出符合要求的角．

(1)、在图1中作一个 $100 °$ 的角；

(2)、在图2中作一个 $130 °$ 的角；

(3)、在图3中作一个 $40 °$ 的角．

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16. 如图，是一正六边形 $A B C D E F$ ，请你仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）．

(1)、在图1中，作一个以 $B D$ 为对角线的平行四边形；

(2)、在图2中，作出 $△ A B D$ 中 $A B$ 边上的中线 $D M$ ．

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17. 数学课上，老师提出：仅用用无刻度的直尺作图.

(1)、如图，点A、B、C在⊙O上，
①在图①中，画一个与∠B互补的圆周角；
②在图②中，画一个与∠B互余的圆周角.

(2)、在图③中， △ABC是⊙O的内接三角形， OD⊥BC于点 D. 画出 $∠ B A C$ 的平分线.

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四、几何轨迹

18. 2024年“嫦娥号”飞船从月球返回地球时，卫星遥感记录了整个返回过程，那么卫星返回时留下的轨迹体现的数学原理是（）

A、线动成面 B、面动成体 C、点动成线 D、以上都不对

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若点 $A (0, 2)$ 绕原点O顺时针旋转 $60 °$ 得到点 $A^{'}$ ．则点A运动到 $A^{'}$ 的轨迹的长度为．

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20. 如图，在正方形ABCD中，E是正方形内部一动点，∠AEB=90°，请画出点E的运动轨迹.
【思路引导】定弦为 ▲ ，定角为 ▲ ，画出点 E 的运动轨迹.

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21. 如图，小球起始时位于（3，0）处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示，用坐标描述这个运动，找出小球运动的轨迹上几个关于直线 l 对称的点.如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，请你画出这时小球运动的轨迹.

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22. 如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，F是边AD上一动点，将 $△ A E F$ 沿EF所在直线折叠得到 $△ A^{'} E F,$ 请你在图中画出点.A'的运动轨迹.
【思路引导】定点(圆心)是 ▲ ，定长(半径)是 ▲ ，点F从A运动到D的过程中，A'的起点位置是 ▲ ，当F在 ▲ 位置时，A'到达终点，画出点A'的运动轨迹.A'

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