几何动点（构造相似与三角形、四边形、圆中的动点）—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题

试卷更新日期：2026-05-15 类型：三轮冲刺

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一、三角形中的几何动点

1. 如图1， △ABC中， ∠A=30°，点P从A点出发沿折线A—C—B运动，点Q从点A 出发沿线段AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到B时，另一点同时停止运动，已知点 P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，设P 点运动时间为x(s)， △APQ的面积为y(cm²)．如图2是y关于x的函数图象，下列选项正确的是( )

A、m=4 B、BC=12 C、y的最大值为2.75 D、点(5， $\frac{5}{4}$ )在该函数图象上

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2. 如图1，点O为△ABC的重心，当动点P从点A 出发沿△ABC的边逆时针运动一周，设点P的运动路程为x，OP²为y，y关于x函数的部分图象如图2所示，则下列说法中正确的是( )

A、n=3 B、m=50 C、 $B C = \sqrt{145}$ D、△ABC的面积为30

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3. 如图1，在 Rt△ABC中， D是斜边AC中点.点E在边AB上，从点A 出发，运动到点B时停止，设AE为x， DE²为y.如图2， y关于x的函数图象与y轴交于点P(0， m)，且经过最低点N(n-4， 9)和M(n， m)两点.下列选项正确的是( )

A、∠A=30° B、m=25 C、n=6 D、BC=3

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4. 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为边BC上一动点，作DE⊥BC，交AB于点D，连接CD.记CE=x，△DEC的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（）

A、当 $x = \frac{3}{2}$ 时，CD的长最小 B、△DEC的面积最大为 $\frac{9}{8} \sqrt{3}$ C、BC=3 D、∠B=60°

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5. 如图，在△ABC中， BC=4cm， AC=3cm， D是BC的中点，动点E从点A 出发，在AC边上以1cm/s的速度向点C运动，运动到 C点停止.若以 C，D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E 的运动时间为秒.

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6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A（5，0），B（0，7），动点P，Q分别按照A-O-B和B-O-A的路线同时开始运动，到各自的终点时停止.直线l经过原点O，且l∥AB，过P，Q分别作l的垂线段，垂足分别为E，F.若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒4个单位长度，运动时间为t秒，当△OPE与△OQF全等时，t的值为 .

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二、几何动点构造相似

7. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = k x + 1$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 2,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，过点 $C$ 的抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1$ 的对称轴与直线 $A C$ 交于点 $B$ ．

(1)、求点 $B$ 的坐标；

(2)、已知 $x$ 轴上一动点 $Q$ ，连接 $B Q$ ，若 $∆ A B Q$ 与 $∆ A O C$ 相似，求出点 $Q$ 的坐标．

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8. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 1, 2)$ 、 $B (2, 2)$ 、 $C (3, - 2)$ ，点 $P$ 是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 在 $x$ 轴上方图象上一点，动直线 $y = - \frac{1}{2} x + t$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $D 、 E$ ．

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、当以 $A 、 C 、 P$ 为顶点的三角形面积为6时，求出 $P$ 点的坐标；

(3)、当 $t < 0$ ，点 $Q$ 在抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上运动时，是否存在点 $Q$ ，使得以 $D$ 为直角顶点的 $△ Q D E$ 与 $△ D O E$ 相似，若存在，请求出此时 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

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9. 如图 $1$ ，抛物线 $y = - x^{2} + k x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 和 $B (3, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0, 3)$ ，点 $D$ 是抛物线的顶点．

(1)、求抛物线的解析式和顶点 $D$ 的坐标；

(2)、点 $P$ 在 $x$ 轴上，直线 $D P$ 将 $△ B C D$ 的面积分成 $1 ∶ 2$ 两部分，请求出点 $P$ 的坐标；

(3)、如图 $2$ ，作 $D M ⊥ x$ 轴于 $M$ 点，点 $Q$ 是 $B D$ 上方的抛物线上一点， $N$ 是 $B D$ 上一点，是否存在 $Q$ 点使得 $△ D Q N$ 与 $△ D B M$ 相似？若存在，请直接写出 $N$ 坐标；若不存在，请说明理由．

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10. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象经过原点和点 $A (4, 0)$ ．经过点 $A$ 的直线与该二次函数图象交于点 $B (1, 3)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求二次函数的解析式及点 $C$ 的坐标；

(2)、点 $P$ 是二次函数图象上的一个动点，当点 $P$ 在直线 $A B$ 上方时，过点 $P$ 作 $P E ⊥ x$ 轴于点 $E$ ，与直线 $A B$ 交于点 $D$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．
① $m$ 为何值时线段 $P D$ 的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点 $P$ ，使得 $△ B P D$ 与 $△ A O C$ 相似．若存在，请求出点 $P$ 坐标；若不存在，请说明理由．

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11. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 3, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，点 $P$ 是直线 $A C$ 上方抛物线上一点，其横坐标为 $t$ ，连接 $B P$ 交直线 $A C$ 于点 $D$ ．

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、在抛物线上是否存在点 $P$ ，使 $△ P A C ∽ △ B C O$ ，若存在，求出 $t$ 值；若不存在，请说明理由．

(3)、点 $Q$ 是抛物线上的点，当 $\frac{P D}{B D}$ 的值最大时，是否存在点 $Q$ 使得 $△ B P Q$ 是直角三角形，若存在，求出点 $Q$ 坐标；若不存在，请说明理由．

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12. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $M$ 是抛物线上一动点（不与点 $B$ 重合），过点 $M$ 作 $M N ⊥ x$ 轴于点 $N$ ，交直线 $B C$ 于点 $P$ ．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、若 $P M = 2 P N$ ，求点 $M$ 的坐标；

(3)、若点 $M$ 在直线 $B C$ 下方的抛物线上运动，是否存在点 $M$ ，使以点 $M$ ， $P$ ， $C$ 为顶点的三角形与 $△ B P N$ 相似？若存在，请求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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三、四边形中的几何动点

13. 如图， $E$ 是正方形ABCD的边CD上一动点（不与C，D重合），连结AE ，以AE为边作正方形AEFG ，点 $M$ 是AF的中点，连结CM ．给出下列结论：① $2 C M = \sqrt{2} A E$ ；②点B，M，D三点共线，则下列判断正确的是（）

A、①，②都对 B、①，②都错 C、①对，②错 D、①错，②对

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14. 如图，在四边形ABCD中，AD=CD=2，AB=4，∠D=∠BAD=90°，点E从D点向C点运动，连结AE，过点E作EF⊥AE交BC于点F，连结AF，设点E运动的路程为x，△AEF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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15. 如图1，在矩形ABCD中，点P从点A出发沿边AD→DC匀速运动，运动到点C时停止.过点P作对角线AC的垂线，交矩形ABCD的边于点Q.设点P运动的路程为x，AQ的长为y，其中y关于x的函数图象如图2所示，则下列选项错误的是（）

A、AB=4 B、 $m = 2 \sqrt{13}$ C、 $n = 4 \sqrt{5}$ D、点（6，5）在该函数图象上

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16. 如图，在四边形ABCD中， $A D ∥ B C, A E = \frac{1}{3} A B, D G = \frac{1}{3} D C,$ 点 H，F分别在边 AD，BC上移动(不与端点重合)，连接FH，则下列为定值的是( )

A、∠EFG的大小 B、四边形EFGH的周长 C、线段FH的长 D、四边形EFGH的面积

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17. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线AB，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM，MN，ND.设点M运动的路程为x（0≤x≤4），△DMN的面积为S，下列图象中能反映S与x之间函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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18. 如图，正方形ABCD中，AD=4，E是AB上一点，且EB=1，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为 .

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19. 如图，在长方形电子屏ABCD中， AB=8m， AD=5m. 一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点 P 从点A 出发沿边AB，BC 以2m/s的速度向点C 运动，随着DP 的移动，画面逐渐展开.

(1)、写出展开的画面面积S(单位：m²)关于点 P的运动时间t(单位：s)的函数表达式；

(2)、当展开的画面面积达到电子屏面积的 $\frac{1}{4}$ 时开始播放广告语，播放时间持续3. s，求播放结束时展开的画面面积.

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20. 如图，已知正方形 $A B C D, A B = 6, E, F$ 是 $A D, A B$ 上的两个动点， $C E ⊥ D F, C E, D F$ 交于点 $G$ ．

(1)、求证： $C E = D F$ ；

(2)、若四边形 $A E G F$ 的面积为 $4 \sqrt{5}$ ，求 $C E$ 的长；

(3)、求 $\frac{E F}{D F}$ 的最小值．

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四、圆中几何动点

21. 如图，在等腰 $R t △ A B C$ 中， $A C = B C = 2 \sqrt{2}$ ，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点. 当点P沿半圆从点A运动至点B时，AM的最小值是（）

A、 $\sqrt{5} - 1$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $2 \sqrt{2}$

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22. 如图，AB为 $⊙ O$ 的直径， $A B = 10, B C = 6, D$ 为弧AC上一动点，连结BD，CD，作 $C E ⊥ C D$ 交BD于 $E$ ，连结OE.
①当D为弧AC的中点时， $B E =$ ；
②当 $D$ 在弧AC上运动时，OE的最小值为.

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23. 如图1，AB为⊙O的直径，⊙O的周长为4厘米.动点P从点A出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点P 出发1秒后，动点Q也从A 点出发，以x厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点 P 运动t(秒)时，点P，Q与点A 之间较短的弧长分别为y₁ ， y₂.y₁ ， y₂与t的函数图象如图2所示.

(1)、求x的值.

(2)、当2≤t≤4时，求y₁关于t的一次函数表达式.

(3)、若点C为图2中两个函数图象的交点，求点C的坐标，并求出此时点P，点Q之间的劣弧长.

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24. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 5$ ，以点C为圆心， $\sqrt{10}$ 为半径作圆.点D为边AB上的动点，DP，DQ分别切圆C于点P，点Q，连接PQ，分别交AC和BC于点E，F，取PQ的中点M.

(1)、当 $∠ P D Q = 6 0^{°}$ 时，求劣弧PQ的度数；

(2)、当 $C E = C F$ 时，求AD的长；

(3)、连接CM，BM.
①证明： $M E \cdot C A = C M \cdot A D$ .
②在点D的运动过程中，BM是否存在最小值？若存在，直接写出BM的值；若不存在，请说明理由.

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