湖南新高考教学教研联盟2026届高三4月第二次联考数学试题

试卷更新日期：2026-04-17 类型：高考模拟

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 若集合 $M = {x | \sqrt{x} < 4}$ ， $N = {x | y = ln (x + 1)}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(- 1, 16)$ B、 $(- \infty, 16)$ C、 $(0, 16)$ D、 $[0, 16)$

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2. 已知复数 $\frac{1}{z}$ 在复平面内对应的点为 $(- 1, 1)$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$

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3. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} - \vec{b} + 2 \vec{c} = \vec{0}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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4. 直线 $y = k x + 4$ 与圆 $M : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16$ 的交点为 $A$ ， $B$ ，若 $∠ A M B = 120 °$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $\pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\pm 2 \sqrt{3}$ C、 $\pm \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\pm 2 \sqrt{5}$

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5. 已知函数 $f (x) = cos (2 x + \frac{2 π}{3})$ 的图象向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度后关于原点对称，则 $φ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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6. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n - 1$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是以1为首项，2为公比的等比数列，则 $a_{b_{1}} + a_{b_{2}} + \cdot \cdot \cdot + a_{b_{10}} =$ （）

A、1013 B、1014 C、502 D、503

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7. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f (2 x + 2)$ 的图象关于 $x = - \frac{1}{2}$ 对称， $f (- 1) = - 3$ ，则 $f (985) =$ （）

A、0 B、 $- 3$ C、3 D、4

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8. 已知随机事件 $A$ ， $B$ ， $C$ 发生的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且 $A, B, C$ 两两独立，那么这三个事件同时发生的概率可能为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{4}{9}$

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二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 若 $0 < a < b < 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 ${({log}_{a} b)}^{2} < 1$ B、 ${log}_{a} b + {log}_{b} a > 2$ C、 ${log}_{a} b < {log}_{b} a$ D、 $|{log}_{a} b| + |{log}_{b} a| > |{log}_{a} b + {log}_{b} a|$

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10. 在舞台上，智能机器人 $M$ 从舞台中心出发，伴着音乐节拍，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，仿佛在跳一支充满不确定性的“随机舞”．与此同时，另一台机器人 $N$ 从舞台中心正东方向2米的位置起步，移动规则与 $M$ 相同，若相遇，则继续独立移动．下列说法中正确的是（）

A、机器人 $N$ 移动4秒来到舞台中心的路径条数为12 B、已知机器人 $N$ 移动4秒到达舞台中心，则其在4秒移动中至少存在一步向正南移动的概率为 $\frac{3}{4}$ C、机器人 $M$ 在移动3秒来到舞台中心的正北方向上的概率为 $\frac{9}{64}$ D、移动1秒后机器人 $M$ 与 $N$ 的距离为 $\sqrt{2}$ 米的概率为 $\frac{1}{4}$

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11. 如图，对每个正整数 $n$ ， $A_{n} (x_{n}, y_{n})$ 是抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上的点，过焦点 $F$ 的直线 $F A_{n}$ 交抛物线于另一点 $B_{n} (s_{n}, t_{n})$ ，并记 $C_{n}$ 为抛物线上分别以 $A_{n}$ 与 $B_{n}$ 为切点的两条切线的交点．则（）

A、 $x_{n} s_{n} = - 4 (n \geq 1)$ B、 $|A_{n} B_{n}| \cdot |F C_{n}| = |A_{n} C_{n}| \cdot |B_{n} C_{n}|$ C、若 $x_{n} = 3 n$ ，则 $|F C_{n}|$ 的最小值为2 D、若 $x_{n} = \frac{1}{3^{n}}$ ，则 $|F C_{1}| + |F C_{2}| + \cdot \cdot \cdot + |F C_{n}| = 3^{n + 1} - \frac{1}{4 \times 3^{n}} - \frac{11}{4}$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 已知 $f (x) = \sqrt{x} - 2 ln x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为．

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13. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B = \sqrt{3}$ ， $A D = 2$ ， $B D = 1$ ，现将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，得到三棱锥 $A - B C D$ ，且三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积为 $7 π$ ，则 $A C =$ ．

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14. 已知数列 $a_{n} = 14 n + 1$ ，令 $a_{n} = 10 x_{n} + y_{n}$ ，其中 $x_{n}$ ， $y_{n} \in N$ ，且 $y_{n} < 10$ ，定义 ${(- 1)}^{n} \cdot d_{n} = x_{n + 1} - x_{n}$ ，则 $\sum_{n = 1}^{2026} d_{n} =$ ．

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四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. 在脑机接口技术实验中，研究人员为验证不同思维任务下，两个大脑的信号同步性是否独立，研究人员选取了200组观测数据，聚焦于“逻辑推理”与“创造性想象”两类任务，记录了两位受试者脑电信号的同步情况，得到了如下列联表：
思维任务类型
信号同步性
合计
信号同步
信号不同步
逻辑推理
42
58
100
创造性想象
28
72
100
合计
70
130
200

(1)、分别计算两类任务中信号同步的频率，根据频率，你认为思维任务类型与信号同步性有关吗？简述理由．

(2)、根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，分析思维任务类型与信号同步性有关吗？
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$α$
0.050
0.010
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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16. 在 $△ A B C$ 中，已知 ${cos}^{2} A - {cos}^{2} B = sin A cos A - sin B cos B$ ，且 $A \neq B$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $A B^{2} + A C^{2} = 6$ ， $D$ 为 $B C$ 中点，且 $A D = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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17. 如图， $E A$ 和 $D C$ 都垂直于平面 $A B C$ ，且 $E A = 2 D C = 2$ ， $A C = 2$ ， $F$ 是 $E B$ 的中点．

(1)、证明： $D F //$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若四棱锥 $B - A C D E$ 的体积为3，求平面 $D E F$ 与平面 $A B C$ 夹角的余弦值的最大值．

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18. 已知椭圆 $E : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上、下焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，右顶点为 $A$ ， $△ A F_{1} F_{2}$ 为锐角三角形且面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的离心率．

(2)、过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于 $P$ ， $Q$ 两点（ $P$ 在 $Q$ 的左侧），且 $△ Q F_{1} F_{2}$ 的面积与 $△ Q F_{1} A$ 的面积相等．
（ⅰ）求直线 $l$ 的斜率；
（ⅱ）若 $|A Q| - |P F_{1}| = \frac{8}{13}$ ，求椭圆 $E$ 的方程．

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19. 已知函数 $f (x) = sin x - m (x + \frac{π}{2}) cos x - 1$ ， $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ．

(1)、当 $m < 0$ 时，证明 $f^{'} (x)$ 有唯一极值点；

(2)、讨论 $f (x)$ 的零点个数；

(3)、若存在 $t > 0$ ，当 $x \in (\frac{π}{2} - t, \frac{π}{2})$ 时，总有 $|f (x)| < - 2 x + π$ ，求符合条件的 $m$ 的最小值．

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思维任务类型	信号同步性		合计
思维任务类型	信号同步	信号不同步	合计
逻辑推理	42	58	100
创造性想象	28	72	100
合计	70	130	200

$α$	0.050	0.010	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828