几何动点（动点构造角、特殊三角形、特殊四边形）—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题

试卷更新日期：2026-05-14 类型：三轮冲刺

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一、几何动点构造角

1. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $A O C B$ 是矩形， $A B = 4$ ，将线段 $O A$ 绕点O按顺时针方向旋转90°，使点A落在 $O C$ 边上的点E处，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 过A ， E ， B三点．

(1)、填空： $a =$ ； $b =$ ．

(2)、若点M是抛物线对称轴上的一动点，当 $△ M B E$ 的周长最小时：
①求点M的坐标；
②求 $△ M B E$ 外接圆圆心F的坐标．

(3)、在（2）的条件下，点P是 $x$ 轴上一动点，当 $∠ B P E = ∠ M B E$ 时，求点P的坐标．

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2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + c$ 经过点 $A (0, 1)$ ，点 $P$ ， $Q$ 在此抛物线上，其横坐标分别为 $m$ ， $2 m (m > 0)$ ，连接 $A P$ ， $A Q$ ．

(1)、求此抛物线的解析式．

(2)、当点 $Q$ 与此抛物线的顶点重合时，求 $m$ 的值．

(3)、当 $∠ P A Q$ 的边与 $x$ 轴平行时，求点 $P$ 与点 $Q$ 的纵坐标的差．

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3. 如图，平面直角坐标系 $x O y$ 中，二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3$ 的图象与 $x$ 轴相交于点 $A (- 1, 0)$ 、点 $B (3, 0)$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，连接 $A C$ 、 $B C$ ．

(1)、求： $a$ ， $b$ 的值；

(2)、当 $t \leq x \leq 1$ 时，函数 $y = a x^{2} + b x + 3$ 的最小值是2，求出 $t$ 的值；

(3)、在抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $∠ C B P + ∠ A C O = 45^{\circ}$ ？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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4. 综合与实践：
如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ 和点 $B (4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连结 $B C$ ，点 $D$ 在抛物线上．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、小明探究点 $D$ 位置时发现：如图1，点 $D$ 在第一象限内的抛物线上，连结 $B D$ ， $C D$ ， $△ B C D$ 面积存在最大值，请帮助小明求出 $△ B C D$ 面积的最大值；

(3)、小明进一步探究点 $D$ 位置时发现：点 $D$ 在抛物线上移动，连结 $C D$ ，存在 $∠ D C B = ∠ A B C$ ，请帮助小明求出 $∠ D C B = ∠ A B C$ 时点 $D$ 的坐标．

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5. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A，B(4，0)两点，与y轴的正半轴交于点 C(0，4).

(1)、求抛物线对应的函数解析式.

(2)、如图1，P是抛物线上在第一象限的一点，连接BC，PB，PC，过点 P 作 PD⊥x轴于点D，交BC于点K.记△PBC，△BDK的面积分别为S₁ ， S₂ ，求 $S_{1} - S_{2}$ 的最大值.

(3)、如图2，连接AC，E(-1，2)为线段AC 的中点，过点 E 作 EF⊥AC，交x轴于点 F，连接CF.抛物线上是否存在点 Q，使∠QFE=2∠OCA?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.

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6. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 经过 $A (- 1, 0)$ 、 $B (4, 0)$ 两点， $D (x, y)$ 为抛物线上第一象限内的一个动点．

(1)、求抛物线所对应的函数表达式；

(2)、当 $△ B C D$ 的面积最大时，求点 $D$ 的坐标；

(3)、过点 $D$ 作 $D E ⊥ B C$ ，垂足为点 $E$ ，是否存在点 $D$ ，使 $∠ D C E = 2 ∠ A B C$ ，若存在，求点 $D$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

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7. 如图1，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (0, - 4)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ，与 $x$ 轴交于 $B ， C$ 两点．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、若点 $P (x_{1}, y_{1}) ， Q (x_{2}, y_{2})$ 是抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 上的两个点， $x_{2} = x_{1} + 1$ ．若 ${(y_{1} - y_{2})}^{2} = 4$ ，求 $x_{1}$ 的值；

(3)、如图2，已知直线 $y = - \frac{3}{2} x - 6$ 与直线 $A C$ 交于点 $M$ ，与 $x$ ， $y$ 轴分别相交于点 $D ， E$ ，试探究在第二象限内的抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 上是否存在一点 $G$ ，使得 $∠ G C M = ∠ D M C$ ？若存在，求出点 $G$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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二、几何动点构造特殊三角形

8. 已知点A是直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 上一动点，以点A为顶点的抛物线 $y = {(x - m)}^{2} + h$ 交y轴于点B，作点B关于x轴的对称点C，连接AB、AC．若△ABC是直角三角形，则点A的坐标为．

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9. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{2} (x - 1) (x - m)$ 与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中 $m > 1$ ，点P在第一象限的抛物线上，若 $△ B C P$ 是以 $C P$ 为底的等腰直角三角形，则m的值为.

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10. 如图，直线l过x轴上一点A(2，0)，且与抛物线 $y = a x^{2}$ 相交于B，C两点，B点坐标为(1，1).

(1)、求直线l和抛物线的函数解析式．

(2)、在x轴上是否存在一点p，使△POD为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、若抛物线上有一点D(在第一象限内)使得： $S_{△ A O D} = S_{△ O B C}$ ，求D点坐标．

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11. 如图，直线 $y = - x + 3$ 与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D.

(1)、求抛物线的解析式.

(2)、如果一个圆经过点O、点B、点C三点，并交于抛物线AC段于点B，求 $∠ O E B$ 的度数.

(3)、在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 $△ P C D$ 为等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由.

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12. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象经过原点 $O (0, 0)$ 和点 $A (4, 0)$ ，顶点为B，且顶点B的纵坐标为2．

(1)、求抛物线的对称轴；

(2)、求证： $△ A B O$ 是以点B为直角顶点的等腰直角三角形；

(3)、设点P是抛物线上一点（P不与点O，A，B重合），点Q在x轴上．是否存在正三角形 $A P Q$ ？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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13. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A ， B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），点 $A$ 的坐标为 $(- 1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 3)$ ，直线 $C D : y = 2 x - 3$ 与 $x$ 轴交于点 $D$ ．动点 $M$ 在抛物线上运动，过点 $M$ 作 $M P ⊥ x$ 轴，垂足为点 $P$ ，交直线 $C D$ 于点 $N$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、当点 $P$ 在线段 $O D$ 上时， $△ C D M$ 的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；

(3)、点 $M$ 在运动过程中，能否使以 $C ， N ， M$ 为顶点的三角形是以 $N M$ 为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 $M$ 的坐标．

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14. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 2, 0), B (6, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 6)$ ，连接 $B C$ ．若点 $P$ 在线段 $B C$ 上运动（点 $P$ 不与点 $B C$ 重合），过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $E$ ，交 $x$ 轴于点 $F$ ．设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．

(1)、求拋物线的函数表达式．

(2)、若 $P F = 3 P E$ ，求 $m$ 的值．

(3)、在点 $P$ 的运动过程中，是否存在 $m$ 使得 $△ C P E$ 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出 $m$ 的值；若不存在请说明理由．

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三、几何动点构造特殊四边形

15. 抛物线 $y = a x^{2} - 2 x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 3, 0)$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0, 3)$ ，点 $P$ 是抛物线上的一个动点.

(1)、求抛物线的函数解析式和直线 $A C$ 的解析式；

(2)、如图 $1$ ，点 $P$ 在线段 $A C$ 上方的抛物线上运动（不与 $A ， C$ 重合），过点 $P$ 作 $P D ⊥ A B$ ，垂足为 $D$ ， $P D$ 交 $A C$ 于点 $E$ . 若点 $P$ 的横坐标为 $x$ ，请用 $x$ 的式子表示 $P E$ ，并求 $P E$ 的最大值；

(3)、如图 $2$ ，点 $M$ 是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点 $N$ ，使得以点 $A ， C ， M ， N$ 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点 $M$ 的坐标.

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16. 如图1，若二次函数y＝ax²﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的动点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)、如图3，将抛物线y＝ax²﹣2x+c（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y^' ，在y^'的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，求点E的坐标．

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17. 如图，已知抛物线 $C_{1}$ ： $y = - x^{2} + b x + c$ 与y轴相交于点C（0，1），对称轴为直线x=2．坐标原点为O点，抛物线 $C_{1}$ 的对称轴交x轴于A点．

(1)、抛物线的关系表达式；

(2)、若点P为抛物线上的一动点，连接PO交线段AC于点B，当PB=2BO时，求点P的坐标；

(3)、将抛物线 $C_{1}$ 向左平移2个单位长度得到抛物线 $C_{2}$ ， $C_{2}$ 与 $C_{1}$ 相交于点E，点F为抛物线 $C_{1}$ 对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点H的坐标：若不存在，请说明理由．

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18. 如图，已知二次函数. $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过三点A (-1， 0)， B(3， 0)， C (0， - 3)，它的顶点为 M，且正比例函数.y=kx的图象与二次函数的图象相交于D、E两点.

(1)、求该二次函数的表达式和顶点 M的坐标；

(2)、若点E的坐标是((2，-3)，且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围；

(3)、试探究：点P是x轴上一动点，以BP 为边作正方形BPQN，除点B 外还有一个顶点在抛物线上，求出满足条件的点 N的坐标.

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19. 如图，已知抛物线 $L : y = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x + 2 (x \leq 0)$ 与 $y$ 轴相交于点 $A$ ，将抛物线 $L$ 绕着点 $H (0, m) (m < 2)$ 旋转 $180 °$ 得到新的抛物线 $L^{'}$ ，抛物线 $L^{'}$ 与 $y$ 轴相交于点 $B$ ．

(1)、求点 $A$ 的坐标及抛物线 $L$ 的顶点坐标；

(2)、在抛物线 $L^{'}$ 上取一点 $C$ ，连接 $B C$ ，且满足 $tan ∠ A B C = 4$ ．
①当 $O A = 2 O H$ 时，求点 $C$ 的坐标；
②定义：我们把一条对角线与一条边相等的平行四边形称为关于此对角线的对等平行四边形．现过点 $A$ ， $B$ ， $C$ 作平行四边形 $C A P B$ ，当平行四边形 $C A P B$ 是关于对角线 $A B$ 的对等平行四边形时，求此时 $m$ 的值．

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20. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线 $y = - x + 3$ 交坐标轴于B、C两点，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 经过B、C两点，且交x轴于另一点 $A (- 1, 0)$ ．点D为抛物线在第一象限内的一点，过点D作 $D Q ∥ C O$ ， $D Q$ 交 $B C$ 于点P ，交x轴于点Q ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、设点P的横坐标为m ，在点D的移动过程中，存在 $∠ D C P = ∠ D P C$ ，求出m值；

(3)、在抛物线上取点E ，在平面直角坐标系内取点F ，问是否存在以C、B、E、F为顶点且以 $C B$ 为边的矩形？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．

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21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + m x + n$ 经过点A（3，0）、B（0，-3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t.

(1)、分别求出直线AB和这条抛物线的解析式.

(2)、若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求 $△ A B M$ 的面积.

(3)、是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.

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22. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为 $(- 1, 0)$ ，点C的坐标为 $(0, 3)$ ．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、如图甲，若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线 $B C$ 的距离最大时，求点P的坐标；

(3)、图乙中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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23. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点A和点B (3，0)，与y轴交于点C(0，3)，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB.

(1)、求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)、点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m.
①当∠MBA=∠BDE时，求点M的坐标；
②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N， P为x轴上一点，连接PM， PN，将 $△ P M N$ 沿着MN翻折，得 $△ Q M N,$ ，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值.

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24. 如图1，若二次函数 $y = a x^{2} - 2 x + c (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B (3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 3)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图 $2$ ，连接 $B C$ ，点 $P$ 为直线 $B C$ 下方抛物线上的动点，求 $△ P B C$ 面积的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

(3)、如图3，将抛物线 $y = a x^{2} - 2 x + c (a \neq 0)$ 先向右平移 $1$ 个单位长度，再向下平移 $1$ 个单位长度得到新的抛物线 $y^{'}$ ，在 $y^{'}$ 的对称轴上有一点 $D$ ，坐标平面内有一点 $E$ ，使得以点 $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的四边形是矩形，求点 $E$ 的坐标．

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